Bonjour, une petite question d'Olympiades réussi par moins de 5% des candidats (donc pas de pression si vous ne trouvez pas ) :
Pouvez vous me donner tous les triplets (a,b,c) d'entiers strictement positifs tel que les 3 nombres ab-c et bc-a et ca-b sont des puissances de 2 ? A défaut de tous les donner pouvez-vous m'en donner quelques-uns ?
Gagné jandri et comme je suis gentille je t'accorde aussi toutes les permutations correspondantes
Il y en a au moins un encore plus trivial si j'ose dire.
Et un autre qui en vaut trois :
Encore un triplet qui en vaut six :
D'accord, tu les as tous désormais, il reste à prouver l'exhaustivité de ta liste ce qui n'est pas le plus facile...
J'ai vainement cherché jusqu' à 10
Jusque là ,le plus grand donnant deux solutions est:
9,22,230 --->2^6 et 2^12
Je garde mon bidule pour tester de temps en temps
Tu es un peu hors sujet dpi puisqu'il faut que les 3 nombres soient des puissance de 2.
Je t'en prie Sylvieg, tant mieux si ça te plait, bien trouvé mais il reste toujours la partie la plus difficile, montrer qu'on a obtenu tous les triplets une fois que c'est le cas
Du coup tu as changé l'énoncé, ton triplet ne correspond pas malheureusement comme le fait remarquer Sylvieg
Il n'y en a effectivement pas d'autres que ceux donnés par jandri mais il ne faut pas renoncer à démontrer pourquoi
Moi non plus, je ne vois pas trop par quel bout le prendre.
Quelques embryons de pistes ci dessous (je ne crois pas utile de tout blanker).
Un préliminaire d'abord :
u, v et w sont des entiers naturels.
2u + 2v = 2w implique u = v et w = u+1.
Le cas a = b ensuite :
J'ai réussi à démontrer que seuls deux triplets convenaient.
Ils ont été trouvés par jandri
Pas mal du tout Sylvieg si tu a déjà étudié le cas a=b
Pour a<b<c je te suggère dans un premier temps de trouver des contraintes sur a ensuite il sera toujours temps d'étudier les quelques valeurs possibles.
Une petite suggestion poser ;
;
puis calculer
et
en espérant trouver un moyen de majorer
en fonction de
et
.
Bonjour flight,
Pas mal
Je me suis permise de blanker.
Reste à démontrer qu'il n'y en a pas d'autres...
Bonjour,
Je continue de caler malgré les conseils du 3 mai à 19h31.
Je ne comprends pas l'intérêt du calcul de Y-Z alors que, selon moi, Y-Z est négatif.
J'ai tenté Z - Y = (b-a)(c+1) ; mais je ne vois rien de plus
Il faut admettre que c'est difficile et je ne pense pas que j'y aurais pensé seule non plus.
On démontre de même que or on peut factoriser
et
par
(tu as raison sur le fait que
et il s'agit de puissance de 2 pour l'un et pour l'autre)
Mais ou
n'est pas divisible par 4 donc
ou
est divisible par
et on en déduit
.
Ensuite c'est à dire
et enfin
.
Il reste à étudier les différents cas possibles pour . Courage
Merci
Je n'avais pas pensé à utiliser des divisibilités pour trouver des inégalités.
Je n'ai pas le temps maintenant ; mais je pense réussir à finir. D'autant plus que l'on trouve peu de valeurs possibles pour a.
Sinon, je relance une bouteille à la mer
Bonjour,
Par cette canicule où les activités autres qu'intellectuelles sont limitées, je me décide à donner les pistes que j'ai trouvées pour terminer de traiter le cas a < b < c en utilisant a < 4.
Les notations :
X = ab-c = 2x ; Y = ca-b = 2y ; Z = bc-a = 2z.
Un rappel :
Si a < b < c alors Y-X > 0 et Z-Y > 0 ; donc x < y < z.
Tout d'abord, on élimine le cas a = 1 :
Si a = 1 alors ab-c =b-c et ca-b = c-b.
Deux réels opposés ne peuvent être tous les deux strictement positifs. L'un des deux n'est donc pas une puissance de 2.
Reste à traiter a = 2 et a =3.
Je vais commencer par a = 3 qui est un peu moins laborieux.
Vassillia pourra indiquer des pistes plus simples.
Cas a =3.
bc-3 = 2z et z non nul, donc b et c sont impairs.
3b-c = 2x et 3c-b = 2y ; donc 8b = 2x(3+2y-x).
On en déduit x = 3.
D'où b = 3+ 2y-3 et c = 3b-8.
y 4 car y > x.
bc -3 = 2y-2(5+32y-4)
bc-3 = 2z ; donc 5+32y-4 est pair.
D'où y-4 = 0.
On peut en déduire la valeur de b puis celle de c.
Cas a =2.
2b-c = 2x et 2c-b = 2y.
D'où 3c et 3b en fonction de x et y. Puis
9bc =22x+1 + 2x+y+2 + 2x+y + 22y+1.
Or bc-2 = 2z ; d'où :
2(22x + 2x+y+1 + 2x+y-1 + 22y - 9) = 92z
(1)
L'égalité (1) est de la forme 2N = 92z
Les seuls diviseurs impairs qui divisent 92z sont 1, 3 et 9.
Si x 1 alors y
2 et N est un entier impair supérieur strict à 9.
Donc x =0.
En remplaçant x par 0 dans l'égalité (1), on obtient :
2y-1(5 + 2y+1 - 92z-y) = 23
z-y 1 ; donc la parenthèse est impaire.
On en déduit y-1 = 3 et 5 + 2y+1 - 92z-y = 1.
D'où y = 4 et z = 6.
On peut en déduire la valeur de b puis celle de c.
Toute piste vers un cheminement plus simple sera bienvenue
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