Bonjour Vassilia,

c'est un début, en voilà un :

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(3,5,7)

Gagné jandri et comme je suis gentille je t'accorde aussi toutes les permutations correspondantes
Il y en a au moins un encore plus trivial si j'ose dire.

C'est vrai que celui que j'ai donné en vaut six, et voilà un septième :

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(2,2,2)

Et un autre qui en vaut trois :

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(2,2,3)

Encore un triplet qui en vaut six :

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(2,6,11)

D'accord, tu les as tous désormais, il reste à prouver l'exhaustivité de ta liste ce qui n'est pas le plus facile...

Bonjour,
On peut s'approcher avec 2 bons sur 3...

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5,6,14   -->2^4 et 2^6
4,7,27 --->2^3 et 2^7
5,9,29--->2^4 et 2^8

J'ai vainement cherché jusqu' à  10
Jusque là ,le plus grand donnant deux solutions est:

9,22,230 --->2^6 et  2^12

Je garde mon bidule pour tester de temps en temps

Bonjour,
Merci d'animer Vassillia
J'ai trouvé le "plus trivial" :

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(2,2,2)

Tu es un peu hors sujet dpi puisqu'il faut que les 3 nombres soient des puissance de 2.
Je t'en prie Sylvieg, tant mieux si ça te plait, bien trouvé mais il reste toujours la partie la plus difficile, montrer qu'on a obtenu tous les triplets une fois que c'est le cas

Bon dimanche,
Je teste...je teste
1,19,27--->2^3 , 2^3 et 2^10
à bientôt ......

Bonjour dpi,
119 - 27 = 2ⁿ

J'ai pris la valeur absolue....

Du coup tu as changé l'énoncé, ton triplet ne correspond pas malheureusement comme le fait remarquer Sylvieg

Faut-il comprendre qu'il est inutile d'en chercher d'autres ?

Il n'y en a effectivement pas d'autres que ceux donnés par jandri mais il ne faut pas renoncer à démontrer pourquoi

Je pense qu'il faut partir de l'énoncé....

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Si on pose abc
on doit avoir abc avec ab-c=x²
plus les carrés s'espacent plus cela devient impossible.
Mais je ne vois pas par quel bout le prendre....

Moi non plus, je ne vois pas trop par quel bout le prendre.
Quelques embryons de pistes ci dessous (je ne crois pas utile de tout blanker).

Un préliminaire d'abord :
u, v et w sont des entiers naturels.
2^u + 2^v = 2^w implique u = v et w = u+1.

Le cas a = b ensuite :
J'ai réussi à démontrer que seuls deux triplets convenaient.
Ils ont été trouvés par jandri

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(2,2,2) et (2,2,3)

Pas mal du tout Sylvieg si tu a déjà étudié le cas a=b
Pour a<b<c je te suggère dans un premier temps de trouver des contraintes sur a ensuite il sera toujours temps d'étudier les quelques valeurs possibles.
Une petite suggestion poser ; ; puis calculer et en espérant trouver un moyen de majorer en fonction de et .

Bonjour

en voila pleins

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2,2,2
2,2,3
2,3,2
3,2,2
3,5,7
3,7,5
5,3,7
5,7,3
7,3,5
7,5,3
2,6,11
2,11,6
6,2,11
6,11,2
11,6,2
11,2,6

Bonjour flight,
Pas mal
Je me suis permise de blanker.
Reste à démontrer qu'il n'y en a pas d'autres...

Pas mal l'idée de faire des permutations de a,b,c

Bonjour,
Je continue de caler malgré les conseils du 3 mai à 19h31.
Je ne comprends pas l'intérêt du calcul de Y-Z alors que, selon moi, Y-Z est négatif.
J'ai tenté Z - Y = (b-a)(c+1) ; mais je ne vois rien de plus

Il faut admettre que c'est difficile et je ne pense pas que j'y aurais pensé seule non plus.
On démontre de même que or on peut factoriser et par (tu as raison sur le fait que et il s'agit de puissance de 2 pour l'un et pour l'autre)
Mais ou n'est pas divisible par 4 donc ou est divisible par et on en déduit .
Ensuite c'est à dire et enfin .
Il reste à étudier les différents cas possibles pour . Courage

Merci
Je n'avais pas pensé à utiliser des divisibilités pour trouver des inégalités.
Je n'ai pas le temps maintenant ; mais je pense réussir à finir. D'autant plus que l'on trouve peu de valeurs possibles pour a.
Sinon, je relance une bouteille à la mer

Bonjour,
Par cette canicule où les activités autres qu'intellectuelles sont limitées, je me décide à donner les pistes que j'ai trouvées pour terminer de traiter le cas a < b < c en utilisant a < 4.

Les notations :
X = ab-c = 2^x ; Y = ca-b = 2^y ; Z = bc-a = 2^z.

Un rappel :
Si a < b < c alors Y-X > 0 et Z-Y > 0 ; donc x < y < z.

Tout d'abord, on élimine le cas a = 1 :
Si a = 1 alors ab-c =b-c et ca-b = c-b.
Deux réels opposés ne peuvent être tous les deux strictement positifs. L'un des deux n'est donc pas une puissance de 2.

Reste à traiter a = 2 et a =3.
Je vais commencer par a = 3 qui est un peu moins laborieux.
Vassillia pourra indiquer des pistes plus simples.

Cas a =3.
bc-3 = 2^z et z non nul, donc b et c sont impairs.
3b-c = 2^x et 3c-b = 2^y ; donc 8b = 2^x(3+2^y-x).
On en déduit x = 3.
D'où b = 3+ 2^y-3 et c = 3b-8.
y 4 car y > x.
bc -3 = 2^y-2(5+32^y-4)
bc-3 = 2^z ; donc 5+32^y-4 est pair.
D'où y-4 = 0.
On peut en déduire la valeur de b puis celle de c.

Cas a =2.
2b-c = 2^x et 2c-b = 2^y.
D'où 3c et 3b en fonction de x et y. Puis
9bc =2^2x+1 + 2^x+y+2 + 2^x+y + 2^2y+1.
Or bc-2 = 2^z ; d'où :
2(2^2x + 2^x+y+1 + 2^x+y-1 + 2^2y - 9) = 92^z (1)
L'égalité (1) est de la forme 2N = 92^z
Les seuls diviseurs impairs qui divisent 92^z sont 1, 3 et 9.
Si x 1 alors y 2 et N est un entier impair supérieur strict à 9.
Donc x =0.
En remplaçant x par 0 dans l'égalité (1), on obtient :
2^y-1(5 + 2^y+1 - 92^z-y) = 2³
z-y 1 ; donc la parenthèse est impaire.
On en déduit y-1 = 3 et 5 + 2^y+1 - 92^z-y = 1.
D'où y = 4 et z = 6.
On peut en déduire la valeur de b puis celle de c.

Toute piste vers un cheminement plus simple sera bienvenue

Bravo Sylvieg pour ta persévérance
Je n'ai pas vraiment de cheminement plus simple. Pas facile comme exercice, j'avais prévenu.