Bonjour Dpi

Il est clair qu'on peut facilement découper l'étoile en trois polygones de même aire . Par exemple en faisant glisser verticalement les points M et N .



Dans la position d'équilibre le périmètre de la figure rouge est plus petit que celui de la bleue ou de la verte . En faisant des zigzags le long de la ligne noire on égalise les périmètres sans changer les aires .

Imod

>Imod
C'est une piste bien sympa ,on attend les valeurs en blank

Ah oui , mince je n'ai pas blanké

Imod

La piste de Imod  (valable pour les aires  après calculs) ne peut être exploitée pour
les périmètres avec seulement trois coups de ciseaux.
Les recherches peuvent continuer....

Il faudrait que tu précises les contraintes car si le découpage est possible en aires égales , il est aussi possible en périmètres et aires égales .  En effet si on fait des zigzags sur les lignes noires , on conserve les aires et on récupère la différence de périmètres car la ligne noire est comptée deux fois dans la figure rouge .

Imod

Après on peut chercher à rendre le périmètre minimal et on retombe sur la problématique de la trisection de la croix avec un certainement pas mal de calculs et beaucoup d'incertitudes .

Imod

Dans le mot trisection ,je pense comprendre couper en  trois en trois coups...
Dans ton approche j'en retiens 5  et j'imagine une tripotée d'autres pour aboutir

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Ton idée est de former un pentagone irrégulier  décomposable en un rectangle et un triangle.

Je trouve un rectangle de 1x 0.966648 et un triangle de  base 1 et  de hauteur 0.721543
son périmètre est 5.4 par contre celui des deux autres polygones est  6.2
soit un rapport d'environ 0.87.

J'ai nettement mieux en 3 coups de ciseaux .

Donc tu veux trois coupes droites ,ce n'est pas tout à fait le problème énoncé au départ .

Bon au repart à zéro

Imod

Bonsoir,

Il n'y a pas beaucoup de volontaires pour calculer l'optimum.
je propose un segment partant du milieu de la banche supérieure
du triangle en haut à droite jusqu'au point M(0,-0.13), l'origine étant le centre de l'étoile.
Puis un segment descendant de M en suivant l'axe des ordonnées.
périmètre minimal : 5.440

Bonjour Wham

A quelle question réponds-tu ? On ne sait plus où on est sur ce fil .

Imod

Bonjour imod
Je réponds à un partage de l'étoile en 3 parties d'aires égales et de périmètres égaux.
En toute simplicité.

Bonjour,

A vous deux,
Je n'ai pas précisé au départ en 3 coupes car je pensais que le terme de trisection suffisait.
J'attends des solutions originales ,bien que je pense qu'elles seront symétriques.*
Celle de wham mérite un dessin  (blanké )

*la mienne ne l'étant pas.

Voilà comment je comprends le découpage de Wham :

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C'est une de mes solutions symétriques.

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Bonjour,

à quelques 10^-5 près, pour l'égalité des aires et des périmètres, je trouve pour chaque tiers ;
aire =1.2952   périmètre 5.440
et 1.225 pour ce que vous appelez le "grand coté"

correctif 1.2205 pour ce que vous appelez le "grand coté"

Bonjour vham

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Je faisais partir mon "grand coté" du centre c'est pour cela que je trouvais 1.276
et que je n'avais pas mes périmètres égaux .
En descendant on trouve effectivement  une bonne solution

Je suis confiné et j'ai donc le droit de râler

J'ai vu de beaux tableaux EXCEL , mais qui a prouvé l'existence d'un découpage exact en trois parts égales de même périmètre et de même aire ?

Après s'il faut faire mieux , il faut dire en quoi c'est mieux , sinon ...

Confinement vôtre

Imod

Bienvenue au club,
Je pense que comme wham nous avons suivi la démarche suivante:
*aire de l'étoile : A=5((3/2)+1/(4tan(2/10))=3.88554...
aire à trouver A/3 soit  1.29518
En appelant "losange" une branche de l' étoile d'aire =0.77711
Il reste à trouver deux triangles symétriques d'aire  =0.25904
connaissant cette aire , un angle et un coté avec la règle des cosinus
et des sinus on trouve les deux autres cotés.
Les deux autres aires symétriques sont aussi égales à A/3
On vérifie les périmètres....
Pour les rendre égaux il faut jouer sur une variable pour agrandir
la grande diagonale d'environ 0.13 et de vérifier que les nouvelles
cotes conviennent.
Demain démonstration chiffrée.....

Pour l'aire de l' étoile on peut simplifier A=5((3)/4+1/(4tan(/5))

Sous la lecture de wham  et l'indulgence du jury
Nous en étions à chercher une aire d'un triangle complémentaire d'aire 0.25904
de coté connu  (rayon du penta ) soit 0.85065.. avec angle obtus connu  114° ,passons les calculs "habituels" dans les triangles on obtient les deux autres cotés 0.66667 et 1.27645.
C'est là que la vérification des périmètres  donne 5.88627 et 5.46045 .

Comme on est en confinement on veut optimiser et on se dit qu'il faut grignoter le
plus grand pour donner au petit.
Qu'à cela ne tienne;
Il faut allonger le premier losange  de x et se servir de cela pour obtenir un quadrilatère
d'aire cherchée décomposable en deux triangles.
Nous cherchons donc d'abord le premier :facile  ;un angle 114 ° ,deux cotés on trouve son aire a1 et son grand coté et un angle aigu  .
Le second devra impérativement avoir une aire complémentaire  a2=0.25904-a1,
ayant son angle obtus =114-
On obtient l'égalité des périmètres pour x=0.1313   (P1=P2=5.44024)

Bonjour,

pour lever toute ambiguïté voici une "optimisation" à mieux que 10^(-10)près)
des aires ET des périmètres

Bonsoir,
Pour le moment,nous allons dire que nous détenons LA solution .
Il serait étonnant qu'il y en ait d'autres aussi égalitaires et minimales.
As-tu trouvé OMKE avec une autre méthode ?

par programme (VBasic.net) avec double dichotomie

Bonne nuit confinée,

Bonjour  
Le nombre de coups de ciseaux ne semblent pas indiqués...
avec du papier , des ciseaux et de la colle ....

Rebonjour

J'avais franchement laissé tomber car je suis un peu allergique aux calculs inextricables .

L'approche de Wham est intéressante mais laisse quelques petites questions en suspens ...

Je résume son idée en utilisant les notations de sa figure du 28/03 .

On considère un point K variable sur [EG] et on place le point M ( s'il existe ) de l'axe (AF) découpant l'étoile en trois parts égales . La différence des périmètres entre la figure supérieure et l'une des deux autres n'est pas nulle en général mais si elle prend deux valeurs de signes différents , elle s'annulera nécessairement .

On peut admettre sans problème que le domaine de variation du point K pour lequel M existe est connexe .

Il reste à exhiber deux points K pour lesquels la différence des périmètres présente des signes différents .

Imod

Bonjour,

--> imod : le simple calcul (compliqué certes, mais un ordinateur peut aider) en deux positions de K n'est pas un constat valable ?
Pouvez-vous en donner la raison profonde ?
J'ai calculé pour EK=0.5 puis j'ai fait varier en 0.49 .....
J'ai bien sûr ensuite fait varier K sur tout le segment [EG] pour visualiser les différences entre les périmètres à aires égales.

Bon dimanche (de confinement),

L'approche de PLSVU est intéressante.
Elle nécessite un travail de montage et aboutit au découpage en 3 du rectangle.
On peut ensuite reconstituer les coupes qu'il faudrait faire au départ sur l'étoile.
On est donc d'accord pour l'égalité des aires.
Pour l'égalité des périmètres cela est aussi évident.
Je trouve 4.77501 ce qui  serait imbattable si on savait tracer directement sur l'étoile.

Pour mémoire....
Ma matrice de calculs j'ai limité à  5 décimales pour l'image

@Wham

Je n'ai rien contre les valeurs approchées . Je serai bien plus convaincu par deux périmètres clairement inversés avec des aires égales qu'avec des approximations  a dix décimales .

Imod

J'ai du mal à croire au découpage de PSLVU  ne serait-ce que parce que les parts en marron sont indirectement semblables sur l'étoile et semblables sur le rectangle .

Imod

Bonjour dpi,

pas évident de comprendre à quoi correspondent vos 4.77501
image du  29-03-20 à 14:40 vraiment pas nette, illisible.

Si découpe pour réassembler des morceaux, il faut au moins définir 3 regroupements dont on définira le périmètre pour chacun. Non ?

Bonjour imod,

Vous seriez bien plus convaincu si ...
Mais je suis convaincu que vous ne doutez pas de l'existence d'un couple de poins K et M
tels que Aires et Périmètres soient respectivement égaux pour chacune des 3 parties.
Ensuite leurs valeurs à plusieurs décimales justes n'est qu'un jeu.

Je ne doute pas de l'existence de cette valeur car j'ai trouvé deux positions avec des périmètres inversés . Pour le reste des calculs , pourquoi pas si on aime

Imod

Je ne pense pas qu'il y ait une valeur rationnelle pour réponse,donc il y aura des décimales.
Par contre ,je travaille sur une seule inconnue OM  .
Le parti pris de se servir pour le premier polygone de la symétrie autour du "losange"
nord impose rapidement la nécessité d'avoir deux triangles d'aire  A/15.
Ce premier point donne à coup sûr 3 polygones d'aire égale.
Le fait que les périmètres sont voisins impose de remplacer les triangles par deux quadrilatères   symétriques (  exemple OEKM  chez wham).
On  sait que EK  et  MK dépendront  de OM  .

On pose le détail des polygones
P1=2+2(EK+MK) et P2=3+(1-EK)+MK+(OA-OM)=P3
Comme la seule inconnue est OM  on trouvera une égalité.
J'ai donc bâti un tableur en faisant varier 0M entre   0.1 et 0.15.
Par interpolation j'arrive comme wham à 0.131300......
jusqu'à épuisement des décimales d'excel.

>wham

Je n'ai posté  l'image que pour formater mon raisonnement ,impossible de la rendre plus
lisible dans son ensemble,mais l'esprit est là...

Quant au  4.77501 il correspond aux périmètres issus de l'idée non réalisable de PLSVU.

Grand patron   (2.5 x 1.5542....) découpé en 3 rectangles de 1.5542...x 2.5/3
donnant 2( 1.5542... +0.83333...)=4.755099.....

Bonjour à tous,

Malgré le confinement,il n 'y a pas eu beaucoup de participants...
Le problème reste ouvert avec à ce jour une réponse acceptable.
On aurait pu aussi accepter l'idée de Plsvu avec quelque découpages et collages,
mais....
le retournement est techniquement impossible sauf démonstration du contraire.

Bonsoir,
    un petit aperçu ...

>PLSVU

Pourrais tu en 3 couleurs seulement colorier tes petits  polygones suivant leur polygone 1/3 "reconstitué"  ?

Bonjour,
les aires des polygones de couleur  bleu  foncé  et   de  couleur rouge foncé sont  déterminées en  créant un curseur "a"pour la longueur du segment KL   le point K étant défini par FK=coté  du pentagone
le point J  en posant  DJ=a/2  
le point  J' symétrique de J par rapport (FC)
les  3  polygones obtenus ont des aires" égales "  et   des périmètres  égaux
3*c+c+FK =4c+2DJ
avec c=6   a= 3,77...

c'est faux ... j'ai  zappé un segment  JL .......   2 pour le bleu et 1 pour le vert et le rouge

Je ne doute pas que tua aies trouvé un mouton à 5 pattes ....

J'aurais aimé que les 3 couleurs  donnent un dessin biscornu genre...