Trois cercles

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Trois cercles
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Imod  22-02-20 à 11:16
Bonjour à tous

Les lunules de Dpi m'ont rappelé un petit exercice que je donnais en DM en 4ème il y a une quelques années .

On place trois points A , B et I , respectivement sur trois cercles concentriques de rayons 8 , 6 et 5 . Calculer la longueur AB sachant que I est le milieu de [AB] .

Je donnais un indice à la classe mais vous devez pouvoir vous en passer 

On n'utilise que des outils très élémentaires et en plus on blanke .

Surtout , amusez-vous bien .

Imod 

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cerveaulogikre : Trois cercles  22-02-20 à 12:02
Bonjour ! Voici ma réponse :

 Cliquez pour afficher
On note  le symétrique de  par rapport à . Le quadrilatère  est alors un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. Par ailleurs, le triangle  est un triangle "6-8-10" donc rectangle en  par la réciproque du théorème de Pythagore. Le quadrilatère obtenu est donc un rectangle. Ses diagonales sont donc égales, d'où 
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Sylvieg re : Trois cercles  22-02-20 à 12:11
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Imodre : Trois cercles  22-02-20 à 12:29
Bravo à Cerveaulogik

Mon indice pour les autres :

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Oublier les cercles et considérer le quadrilatère AOBO' avec O' symétrique du point O par rapport à I .

Imod
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dpire : Trois cercles  22-02-20 à 14:18
Bonjour,

 Cliquez pour afficher
je  pars à l'envers...

Je trace un cercle de centre I et de rayon  IO ,ce cercle coupe celui de rayon 6 en A

et celui de rayon   8 en B.

Soit C opposé à  O sur le cercle ,le triangle ABC  est rectangle en C  et AOB est son symétrique de  petit coté 5  et de grand coté 8 --->Hypoténuse 10
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Sylvieg re : Trois cercles  22-02-20 à 14:44
@dpi,

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Tu donnes une construction de points A et B tels que I soit le milieu.

D'ailleurs il y a des seconds points A' et B' sur chacun des deux cercles qui donnent un autre couple de points avec I milieu de [A'B']

Mais pourquoi avec une autre construction n'obtiendrait-on pas encore ailleurs des points I,A,B alignés...

Et puis je vois une autre faille : Pourquoi avec ton cercle de rayon 5 obtient-on des points I,A,B alignés ?
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mathafou re : Trois cercles  24-02-20 à 01:44
Bonjour,

construction géométrique dans le cas général :

 Cliquez pour afficher
si on se fixe I arbitrairement (ça revient à faire tourner librement toute la figure autour de O)

alors le lieu de A est le cercle "donné" de centre O et de rayon donné OA = a

B étant le symétrique de A par rapport à I, le lieu de B est le symétrique de ce cercle là par rapport à I

c'est à dire le cercle de centre O', symétrique de O par rapport à I, et de rayon a 

mais le lieu de B est aussi par définition le cercle de rayon OB = b de centre O "donné"

donc B est à l'intersection de ces deux cercles et A le symétrique de B par rapport à I

il y à 0, 1 ou deux  solutions, alors symétriques par rapport à (OI), selon les données, 

avec les données numériques de l'énoncé (a= 8, b = 6, m = 5) il y a des "coïncidences" supplémentaires conduisant à l'angle droit et une simplification

dpi : tu devrais vraiment t'installer un logiciel de dessin géométrique correct et pas des approximations graphiques douteuses. avec des erreurs de plusieurs mm visibles au premier coup d'oeil (points même pas sur les cercles et longueurs égales visiblement différentes etc) 

nota : l'exercice est équivalent à 

construire / résoudre un triangle étant donné la mesure de deux côtés et de la médiane issue du même sommet
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dpire : Trois cercles  24-02-20 à 07:40
>mathafou

T'es pas sympa....

J'ai 77  ans à mon époque on faisait à main levée au tableau .
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mathafou re : Trois cercles  24-02-20 à 10:00
moi aussi (septuagénaire) j'ai été élevé pareil, mais tout de même ! ... mon conseil est pertinent

désolé si cela t'a vexé, ce n'était pas du tout mon intention.
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dpire : Trois cercles  24-02-20 à 10:30
  Posté par 
lafol re : Trois cercles  24-02-20 à 16:53
Bonjour

pas besoin d'installer quoi que ce soit : geogebra s'utilise aussi en ligne