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Trouver le bénéfice maximum

Posté par
dave02339 22-10-11 à 19:23

Bonjour

J'ai une fonction qui représente les bénéfices nets d'une entreprise en milliers de dollars, t années après sa création en janvier 1980.
R(t)= 25t/(0.67t²+3)
Je cherche à comprendre comment on trouve le moment où les bénéfices annuels nets ont été maximales. Je pense qu'il faut d'abord faire la dérivé de la fonction ce que j'ai fait qui me donne : -16,75t²+75/((0,67t²+3)²) mais ce n'est que le taux de variation des bénéfices par rapport au temps. Je suis bloqué à partir de cette étape.

Merci

Posté par re : Trouver le bénéfice maximum 22-10-11 à 19:50

Bonjour,

R'(t) = [25(0.67t²+3)-25t(2*0.67t)]/(0.67t²+3)²
Le numérateur est un polynône de degré 2 en t dont tu peux trouver les racines, le dénominateur est > 0. Les racines du nénominateur te donneront les extremums de R(t).

Posté par re : Trouver le bénéfice maximum 22-10-11 à 20:00

Qu'est ce qu'un nénominateur dont tu fais mention dans ton explication ?

Posté par re : Trouver le bénéfice maximum 22-10-11 à 20:48

Bonjour Dave et LeHibou.
R(t) = 25t/(0.67t²+3)
R(t+1) = 25(t+1)/(0.67*(t+1)²+3) = (25t+25)/(0.67t²+1.34t+0.67+3)
inéquation R(t) < R(t+1) avec la variable t
les deux dénominateurs étant positifs, on peut utiliser le produit en croix sans changer le sens de l'inéquation
25t*(0.67t²+1.34t+0.67+3) < (25t+25)(0.67t²+3)
16.75t³+33.5t²+16.75t+75t < 16.75t³+16.75t²+75t+75
33.5t²+16.75t < 16.75t²+75
16.75t²+16.75t-75 < 0
la seule racine positive du membre de gauche est 1,674 arrondi
le bénéfice augmente juste après les années 0 et 1, mais plus par la suite
l'année où les bénéfices ont été les plus élevés est l'année 1982 : 8803 dollars.