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trouver les valeurs a et b avec les primitives

Posté par
Nelcar 11-02-21 à 13:40

Bonjour,
voici un exercice :
soit f la fonction définie sur l'I ]-1;+infini[ par :
f(x)= (x+3)/((x+1)²)
1) déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de ]-1;+infini[ :
f(x)=a/((x+1)²)   + b/(x+1)
2) en déduire les primitives de f sur ]-1;+infini[

Je mets d'abord tout sur le même dénominateur ce qui donne :
x+3=a+b(x+1)
x+3=a+x(b)+b
a= 1     b+b=3  2b=3/2

Merci de me dire quoi avant de continuer

Posté par
matheuxmatoure : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 13:42

bonjour

x + 3 = bx + (a+b)

donc b = ...
et a+b = ...

Posté par
Yzzre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 13:43

Salut,

Dès le début, c'est très, très mal rédigé ! quasi - incompréhensible.

Ensuite, de

Citation :
x+3=a+x(b)+b
on ne tire pas
Citation :
a= 1     b+b=3

Posté par
Yzzre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 13:44

salut matheuxmatou  

Je vous laisse

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:01

Re,
donc je n'ai pas compris ce qu'on m'a expliqué tout à l'heure
j'ai mis tout sur le même dénominateur c'et bien ça ? soit :

x+3=a+b(x+1)
pour la partie b(x+1)  soit bx+b
je mettais ensuite x en facteur soit x(b)+b
d'après ce que j'avais compris la première partie c'est-à-dire a =  1
et la deuxième partie soit x(b)+b=3
c'est ce que j'avais fait
mais matheuxmatou me met :
x + 3 = bx + (a+b)

donc b = ...
et a+b = ...

je ne comprends pas comment avoir bx+(a+b) ?
j'avais a +bx+b
donc il faut donc faire bx+(a+b) ?
DONC b=3 et a=1
mais je doute car pourquoi ne pas s'occuper de bx ?

MERCI

Posté par
matheuxmatoure : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:03

faut arrêter de délayer !

tu ne vois pas que a + bx + b = bx + (a+b) ????????

ensuite

x + 3 = bx + (a+b)

les coefficients en x sont égaux
les coefficients constants sont égaux

donc

b = ...
et
a+b = ...

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:06

re,
je m'excuses matheumatou  pour moi ce n'est pas si évident que ça
oui je suis évidemment d'accord que
a+bx+b= bx+(a+b)
donc
b=1
et a=2

c'est ça

MERCI

Posté par
matheuxmatoure : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:13

oui

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:15

\dfrac{x+3}{(x+1)^2}=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}

réduction au même dénominateur   de \dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}

\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b(x+1)}{x+1)^2}

développement et réduction

\dfrac{bx+(a+b)}{(x+1)^2}

identification
\begin{cases} b=1\\a+b=3\end{cases}

Résolution \begin{cases} b=1\\a=2\end{cases}

f(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{x+1}

bien

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:16

OK donc je vais poursuivre l'exercice
F(x)= 2ln(x+1)² +ln(x+1)

MERCI

Posté par
matheuxmatoure : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:17

non

une primitive de 1/(x+1)² n'est pas  ln((x+1)²) ...

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:19

non  pour la première partie elle ne peut se traiter comme la seconde puisque vous avez un exposant

pensez plutôt à -\dfrac{v'}{v^2}

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:24

Oui j'ai fait sans tenir compte du carré

donc je vais essayer, je dirai :
je décompose car pas sûr :
2/(x+1)²   forme de 1/x² soit -1/x
2/(x+1)²= -2/(x+1)
et 1/(x+1)   forme 1/x=ln(x)
donc 1/(x+1) = ln(x+1)

F(x)= -2/(x+1)+ln(x+1)

MERCI

Posté par
matheuxmatoure : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:29

c'est très très mal rédigé mais le résultat final est juste

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:31

Il faudrait un peu plus de rigueur dans ce que vous écrivez

\dfrac{2}{(x+1)^2} fait penser à la forme \dfrac{v'}{v^2} dont on sait qu'une primitive est \dfrac{-1}{v}

on ne peut écrire 2/(x+1)^2= -2/(x+1)  car c'est faux en général

Il ne faut pas confondre une fonction et sa dérivée ou une fonction et sa primitive  comme vous l'avez fait maintes fois ici

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 14:34

Il serait bien  de rédiger quelques exercices que vous avez déjà faits correctement

Cela vous rendra la solution plus explicite.

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 15:07

OK
je vais encore m'entrainer
donc on est bien d'accord que le résultat est quand même :
F(x)=-2/(x+1)+ln(x+1)
MERCI

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 15:14

Il n'y avait pas de problème pour le résultat

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 15:18

OK

Encore un GRAND   M E R C I

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 15:25

Le seul problème ici était que la rédaction était bien confuse.
Un mieux dans la résolution.  

Rédigez celui-ci comme vous le rendriez en classe.

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 21:17

re,
je n'ai pu répondre avant (je suis allée chez le médecin et un autre travail à faire en histoire)
je reprends donc l'exercice :
oit f la fonction définie sur l'I ]-1;+infini[ par :
f(x)= (x+3)/((x+1)²)
1) déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de ]-1;+infini[ :
f(x)=a/((x+1)²)   + b/(x+1)
2) en déduire les primitives de f sur ]-1;+infini[

1) x+3)/((x+1)²)=a/((x+1)²)   + b/(x+1)
je met tout au même dénominateur ce qu'il me donne après avoir supprimé le dénominateur :
x+3=a +b(x+1)
x+3=a+b x +b
x+3= bx+ a+b

bx=1    et a+b=3

donc b= 1 et a=3-1=2
je remplace a et b par leurs valeurs
x+3)/((x+1)²)=2/((x+1)²)   + 1/(x+1)
f(x)=2/((x+1)²)   + 1/(x+1)
2/((x+1)²) fait penser à la forme u'/v² . On sait qu'une primitive est -1/v
-2/(x+1)
1/(x+1)  soit 1/x on sait que la primitive est ln(x)  donc ln(x+1)
F(x)= -2/(x+1)   + ln (x+1)

MERCI

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 23:25

Soit f la fonction définie sur=I ]-1;+\infty[ par :

f(x)=\dfrac{x+3}{(x+1)^2}

1) déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de I :

f(x)=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}

2) en déduire la primitive de f sur I= ]-1;+\infty[  ou alors il faut ajouter une constante

1) On veut cette égalité
\dfrac{x+3}{(x+1)^2}=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}} pour tout x\in I

je mets tout au même dénominateur ce qu'il me donne après avoir supprimé le dénominateur :

Je réduis au même dénominateur  le second membre

Pour simplifier les dénominateurs étant les mêmes   on ne garde que le numérateur

On doit donc avoir pour tout x
x+3=a +b(x+1)
x+3=a+b x +b
x+3= bx+ a+b
Les coefficients des termes de même degré doivent être les mêmes donc

\begin{cases} b=1\\a+b=3\end{cases}

bx=1    et a+b=3 Pas de x ici on ne considère que les coefficients

donc b= 1 et a=3-1=2

je remplace a et b par leurs valeurs

f(x) peut donc alors s'écrire  f(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{x+1}

(x+3)/((x+1)²)=2/((x+1)²)   + 1/(x+1) pas utile

f(x)=2/((x+1)²)   + 1/(x+1)

2/((x+1)²) fait penser à est de la forme u'/v² . On sait qu'une primitive est -1/v

Si on pose v(x)=(x+1)  alors v'(x)=1   on a bien cette fraction de la forme 2\dfrac{v'}{v^2}

une primitive de cette fraction est  -2/(x+1)

1/(x+1) est de la forme \dfrac{1}{u} avec u(x)=\ln (x+1)  soit 1/x on sait que une primitive est \ln(u)  donc  soit \ln(x+1)

Une primitive de f est donc

F(x)= -2/(x+1)   + ln (x+1)  + C  si on a demandé toutes

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 11-02-21 à 23:27

C'est assez bien   j'ai mis quelques commentaires  et changer quelques tournures

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 10:57

Bonjour hekla,
je viens seulement de voir ta réponse
ok

MERCI c'est super sympa de m'aider comme tu le fais.

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 11:04

Puisque j'ai la possibilité de le faire  et que vous avez la volonté de comprendre  pourquoi ne le ferais-je pas ?

De rien

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 17:46

Re,

C'est super gentil. je commence à mieux comprendre j'ai quand même une question, le prof (vu que je suis absent) a mis ce que les autres ont fait
il y a une chose que je n'ai pas compris
il a fait un tableau


F                                         f                                     f'

nn+1/(n+1)              xn                                    nxn-1

x4/4                            x3                                   3x²

x-2/-2                1/x3
                                 = x[sub  ]-3[/sub]  3x-4=-3/x4

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 17:48

j'en envoyé sans faire esprès
le dernière ligne est
x-2/-2                1/x3                             -3x-4
                            = x-3                         =-3/x4
                           n=-3
la deuxième et la troisième ne figure pas dans mon livre

MERCI

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 18:14

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Primitive }F&\text{fonction }f &\text{dérivée }f'\\\hline\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}&x^n&nx^{n-1}\\\hline\dfrac{x^4}{4}&x^3&3 x^2\\\hline\dfrac{x^{-2}}{-2}&\dfrac{1}{x^3}&-3x^{-4}\\&x^{-3}&\dfrac{-3}{x^4}\\&n=-3&\\\hline \\ \end{array}

Votre professeur a donné les primitives et les dérivées dans quelques cas particuliers.

La première ligne est à connaître  les autres on les retrouve facilement. C'est d'ailleurs pour cela qu'lles ne figurent pas dans tous les livres   sinon il faudrait un gros manuel.

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 18:26

OK
Je vais donc les apprendre

MERCI

Posté par
heklare : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 20:21

Cela peut être une idée  de faire un résumé  avec les fonctions que vous connaissez

Bon courage ;  Bonnes vacances  ?

Posté par
Nelcarre : trouver les valeurs a et b avec les primitives 12-02-21 à 20:23

oui je vais faire un tableau pour résumer.
Non pas encore les vacances. Je suis du Nord et il y a encore une semaine d'école mais la semaine qui vient je suis en différentielle (cette semaine c'était le présentiel mais come j'ai été malade....)

MERCI


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