Niveau algorithmique

Trouver une fonction à partir de 3points

Posté par
SirGalahaad 04-06-14 à 09:57

bonjour, je cherche à résoudre le problème suivant :
j'ai trois points (1,2);(2,3) et (3,1) et j'essaie de trouver quelle fonction me donnerait f(x)=y avec ces 3 valeurs
j'ai essayé avec une forme y=ax²+bx+c, mais je n'y suis pas arrivé (sans doute suis-je trop rouillé, ou bien ces points ne permettent pas une résolution par une telle équation)
quelqu'un aurait-il des idées pour m'aider?
merci !

Posté par re : Trouver une fonction à partir de 3points 04-06-14 à 10:20

Bonjour,

Effectivement si la fonction f à la forme f(x)=ax^2+bx+c alors a,b,c doivent satisfaire:
a + b + c = 2
4a + 2b + c = 3
9a + 3b + c = 1
dont les solutions sont:
a = -3/2
b = 11/2
c = -2

Notons par contre qu'il y a une infinité de fonctions polynômes p de degré strictement supérieur à 2 passant par ces trois points...

Posté par re : Trouver une fonction à partir de 3points 04-06-14 à 10:44

un grand merci pour une réponse aussi rapide !

je dois vraiment être rouillé car j'ai trouvé des résultats qui ne fonctionnaient pas, bien que la solution me suffise pour faire fonctionner le programme qui va derrière, ma curiosité m'incite à vous demander les étapes intermédiaires,

si vous aviez la gentillesse de me les donner

Posté par re : Trouver une fonction à partir de 3points 04-06-14 à 11:05

Avec plaisir

Je dois avouer que je suis fainéant donc j'ai procédé comme suit:
On pose $f(x) = ax^2 + bx + c$ et on veut que
$\left\{ \begin{array}{r c l} f(1) &=& 2 \\ \\ f(2) &=& 3 \\ \\ f(3) &=& 1 \\ \end{array}$
ce qui est équivalent au système d'équations
$\left\{ \begin{array}{r c l} a + b + c &=& 2 \\ \\ 4a + 2b + c &=& 3 \\ \\ 9a + 3b + c &=& 1 \\ \end{array}$
J'ai construis une matrice
$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
et un vecteur
$v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}$
puis j'ai demandé à mon ami Matlab () de calculer
$M^{-1} v = \begin{pmatrix} -3/2 \\ 11/2 \\ -2 \end{pmatrix}$

En Matlab ça s'écrit simplement:

[1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]\[2 3 1]'

Cependant pour résoudre les systèmes d'équations linéaire à la main, vous pouvez utiliser la méthode de Gauss . En fouillant un peu sur Google il ne doit pas être difficile de trouver une version plus détaillée de cette méthode.
Sinon le site suivant résout les systèmes et donne les explications suivantes, copiées collées ici pour votre cas particulier (L1 veut dire ligne 1, L2 = ligne 2, etc.):

Citation :
Résolution par la méthode du pivot de Gauss

x + y + z = 2  L1
4x + 2y + z = 3  L2
9x + 3y + z = 1  L3

x + y + z = 2 L1 n'est pas modifiée
-2y - 3z = -5 L2 est remplacée par L2-4L1
-6y - 8z = -17 L3 est remplacée par L3-9L1

x + y + z = 2   L1 n'est pas modifiée
-2y - 3z = -5   L2 n'est pas modifiée
z = -2   L3 remplacé par L3 - 3L2

x + y + z = 2   L1 n'est pas modifiée
-2y - 3z = -5   L2 n'est pas modifiée
z = -2   z est trouvé

x + y + z = 2   L1 n'est pas modifiée
-2y = -11   on reporte la valeur de z dans L2
z = -2   n'est pas modifiée

x + y + z = 2   L1 n'est pas modifiée
y = 5.5   y est trouvé
z = -2   L3 n'est pas modifiée

x = -1.5   on reporte y et z dans L1
y = 5.5   L2 n'est pas modifiée
z = -2   L3 n'est pas modifiée

x = -1.5   x est trouvé
y = 5.5   L2 n'est pas modifiée
z = -2   L3 n'est pas modifiée

Le systeme admet une seule solution S = { (-1.5;5.5;-2)}

Posté par re : Trouver une fonction à partir de 3points 04-06-14 à 11:46

quel luxe de détails ! un grand merci à vous !

Posté par re : Trouver une fonction à partir de 3points 04-06-14 à 11:53

avec grand plaisir