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[TS] Décomposition primaire
Bonjour à tous 
Je suis actuellement bloqué sur l'exercice d'un DM, et j'ai donc besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :
On rappelle que l'on appelle nombre rationnel x un quotient de deux nombre entiers, c'est-à-dire un nombre x de la forme x= p/q, où p et q sont des nombres entiers. L'ensemble des nombres rationnels x=p/q est noté Q.
Maintenant, un nombre décimal est un nombre (rationnel) comme 2,345 ou -1,234567890123 qui peut s'écrire sous la forme x=n/10^m, où m est un nombre entier relatif et où n est un nombre entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux x=n/10^m est noté D
a) Pour le décimal x=0.123 = n/10^m, donner les valeurs des entiers n et m. Même chose pour le décimal x=n/10^m = -0,12345.
b) Avec cette définition, démontrer que le rationnel x=p/q, avec p et q premiers entre eux, est un nombre décimal si et seulement si il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m. (On peut utiliser un produit en croix).
c) Quelle est la décomposition de 10^m en produit de facteurs premiers ?
d) En déduire que dire "qu'il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m" équivaut à dire que la décomposition de q en produit de facteurs premiers est d'une certaine forme, que vous préciserez.
e) Donner trois fractions irréductibles, avec des dénominateurs tous distincts, ne se terminant pas par 0, et compris entre 201 et 999, qui soient aussi des décimaux. Justifiez que ces fractions sont décimales.
f) Donner trois fractions irréductibles, avec des dénominateurs tous distincts compris entre 201 et 999 et se terminant par 0, qui ne soient pas décimales. Justifier qu'elles ne sont pas décimales.
Où j'en suis :
Et bien, malheureusement, je n'arrive pas vraiment à avancer :
a) Pas de problème pour x=0.123, on a n=123 et m=3. Par contre, j'ai bloque dès le deuxième exemple : je ne comprends pas comment on peut obtenir un nombre négatif avec un numérateur positif et une puissance de 10 au numérateur ?
b) Du coup, j'ai voulu voir la question suivante pour voir si ça m'éclairait un peu, mais là aussi je bloque.
De ce que j'ai compris, on me demande de démontrer une équivalence, mais comment dois-je m'y prendre ? Si je pars, pour le premier sens, du fait que x=p/q est rationnel, alors je dois montrer qu'il existe un entier naturel m tel q divise 10^m, dans le but de montrer que x est un nombre décimal ?
Merci à vous pour votre aide
salut
x = -0.12345 => n = -12345 donc m = ....
il y a surement erreur de l'énoncé :: n est aussi un entier relatif ....
Bonsoir carpediem,
Oui effectivement, c'est moi qui ai mal lu, en fait, n est bien un entier relatif, et non naturel. Du coup, on a n=-12345 et m = 5 !
Et du coup, coup, comment dois-je m'y prendre pour la question b) ?
En indication, il est dit que l'on peut faire un produit en croix, et on obtient donc xq = p.
On sait aussi que p et q sont premiers entre eux, donc on doit sûrement utiliser le théorème de Gauss quelque part, mais je ne vois pas comment.
Donc d'après le théorème de Gauss, q divise 10^m, ok.
Et donc ensuite, je pars du fait qu'il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m, pour aboutir au fait que x est un nombre décimal.
Je m'y penche et je reviens, merci de ton aide !
Donc, pour l'autre sens :
Je pars du fait qu'il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m, et je veux montrer que x est un nombre décimal.
q divise 10^m, donc cela signifie qu'il existe un entier n tel que 10^m = qn.
Or, x= p/q, donc q=p/x, on a donc 10^m = np/x, et donc, x = np/10^m...
Malheureusement, je n'ai pas l'impression que cela me mène à grand chose, comment pourrais-je procéder ?
parce tu tournes en rond
q divise 10^m donc il existe un entier q' tel que qq' = 10^n
alors x = p/q = pq'/10^m et x est décimal ...
Bonjour,
Je n'ai pas pu me connecter, hier, problème d'internet.
Je viens de voir ton message carpediem, mais du coup, j'avais également pensé à un autre moyen, peux-tu me dire si c'est bon ?
Il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m
Il existe également un entier p premier avec q tel que q divise p.10^m
Il existe un entier n tel que n.q = p.10^m ==> p/q = n/10^m ==> x = n/10^m, donc x est décimal.
C'est correct ?
Du coup, j'ai avancé :
c) 10^m = (2x5)^m = 2^m x 5^m
d) 1er sens :
Il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m ==> q divise 2^m x 5^m
==> Il existe un entier k tel que q.k = 2^m x 5^m
==> q = (1/k) x 2^m x 5^m
2eme sens :
q = (1/k) x 2^m x 5^m ==> q.k = 2^m x 5^m ==> q divise 2^m x 5^m ==> q divise 10^m
e) Je bloque ici par contre, je sais que mon quotient doit être de la forme :
x = p/q = [p/(1/k) x 10^m].
Et donc, en faisant des essais, je trouve un premier exemple : 11/625
Par contre, je ne parviens pas à en trouver d'autres, à chaque fois, une des conditions imposées n'est pas remplie.
Il y aurait-il un moyen plus rigoureux pour trouver d'autres exemples ?
Merci
non ça ne va pas ...
on part de l'hypothèse x = p/q est rationnel avec p et q premiers entre eux .....
donc p et q sont fixés
si q divise 10^m alors il existe un entier n tel que qn = 10^m et tout simplement x = pn/qn = pn/10^m
donc x est décimal ....
Il existe un entier naturel m tel que q divise 10^m
Il existe également un entier p premier avec q tel que q divise p.10^m
je ne vois pas l'intérêt de cette deuxième phrase ...
si q divise 10^m alors q divise k10^m pour tout entier k ....
la suite : 10 = (1 * ) 2 * 5
donc les seules diviseurs de 10^m sont de la forme 2^x5^y avec x et y entiers
donc q divise 10^m <=> q = 2^x5^y pour certains entiers x et y
e/ il semble y avoir un pb ....
la seule valeur de q comprise entre 201 et 999 de cette forme est effectivement 625 ....
D'accord, je comprends mieux !
je ne vois pas l'intérêt de cette deuxième phrase ...
si q divise 10^m alors q divise k10^m pour tout entier k ....
Oui effectivement, je me rends compte maintenant qu'elle est inutile... Merci !
Et sinon, pour les questions c) et d), c'est ok ?
Et comment pourrais-je faire pour la e) ?
Ah ok, donc en fait, pour la décomposition de 10^m, les facteurs premiers ont des puissances différentes de m !
Pour la d), on peut donc directement passer de q divise 10^m, à q = 2^x 5^y ? Pourquoi on ne fait pas apparaitre, comme pour les autres cas, un entier k tel que qk = 2^x5^y ?
Pour la e), effectivement, je ne trouve pas grand chose d'autre, et puisque les dénominateurs doivent être distincts, je ne vois pas vraiment comment faire... Et l'énoncé est effectivement tel quel, donc il y a peut-être un problème comme tu dis...
Pour la d), on peut donc directement passer de q divise 10^m, à q = 2^x 5^y ? Pourquoi on ne fait pas apparaitre, comme pour les autres cas, un entier k tel que qk = 2^x5^y ?
on se fout du k ... on veut q et sa forme ... (d'ailleurs k est de la même forme que q : règle sur les exposants de collège)
Du coup, j'ai fait la question f), pourrais-tu me dire si c'est bon ?
J'ai pris pour le exemples : 19/290 ; 113/570 ; 187/730
Pour justifier qu'elles n'étaient pas décimales, j'ai dit que des questions précédentes, on avait montré que si un nombre était décimal, alors son dénominateur q était de la forme 2^x5^y. Cela signifie donc qu'un nombre décimal a un dénominateur ne comportant que des multiples de 2 et de 5 dans sa décomposition en facteurs premiers.
Il vient ensuite :
- 19 et 290 sont premiers entre eux et 290 = 2x5x29, donc la fraction est irréductible et non décimale ;
- 113 et 570 sont premiers entre eux et 570 = 2x3x5x19, donc la fraction est irréductible et non décimale ;
- 187 et 730 sont premiers entre eux et 730 = 2x5x73, donc la fraction est irréductible et non décimale.
C'est bon ?
Salut !
Je viens apporter des précisions quant à la question e) :
On pouvait trouver des exemples de nombres ayant pour dénominateur :
q = 54=625
q= 28=256
q= 29=512
Voilà, c'est tout
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