Bonsoir Louisa,

Une piste pour ce problème délicat.
Supposons que tu aies trois entiers x, y, z qui forment les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire qui vérifient
x² + y² = z².

Par exemple :
3, 4, 5
ou
5, 12, 13
ou
8, 15, 17.

Tu auras z² + 2xy = (x + y)² et z² - 2xy = (x - y)²

Par exemple pour 3, 4 , 5

5² + 2.3.4 = 7²
5² - 2.3.4 = 1²

En divisant tout par 4 :

(5/2)² + 6 = (7/2)²
(5/2)² - 6 = (1/2)²

Autrement dit ton problème serait résolu si on cherchait un carré qui reste carré si on lui ajoute ou lui retranche 6.
Mais tu poses le problème avec 5 et pas avec 6.

Je te laisse méditer là-dessus...

Bonsoir frenicle

Merci pour le sujet de méditation

Je vais y réfléchir !

J'ai un petit problème,

je ne sais pas comment trouver ces carrés comme dans tes exemples :
3, 4, 5
ou
5, 12, 13
ou
8, 15, 17

Platon avait trouvé que si m et n sont des entiers quelconques

(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²

Pour m = 2 et n = 1 on retrouve 3, 4, 5.

Bonjour

En cherchant,j'ai trouvé autre chose...
Quels sont les carré entiers tels que (a+5)² soit aussi un carré entier


Nous avons une progression de 2 n+1

je m'explique:
4² =16  et 4+5 = 9 = 3² le carré entier suivant sera 4+7
11² +121 et 11+5 = 4² le carré entier  suivant sera 11+9
20²= 400 et 20+5 =5² le carré suivant sera 20+11
31²=961 et 31+5 = 6²-->31+13 etc
44 , 59 , 76, 95, 116

salut

n² - 5 = p² et n² + 5 = q²

en soustrayant membre à membre : q² - p² = 10 = (q-p)(q+p)

dans les rationnels on cherche donc (r = rationnel)

q+p = r
q-p = 10/r

donc

q = (1/2)(r+10/r) = (1/2r)(r²+10)
p = (1/2)(r-10/r) = (1/2r)(r²-10)

on en déduit alors n (n fonction du rationnel r)

reste à vérifier que ça marche... ^{_{(ou pas.... )}}

Bonsoir à tous

Je comprends pas grand chose...

Est-ce que tu as compris comment on obtenait des triangles rectangles à côtés entiers ?

Tu prends deux entiers m et n et tu formes

x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n²

Par exemple, pour m = 2 et n = 1 :

x = 2² - 1² = 3, y = 2.2.1 = 4, z = 2² + 1² = 5

(3, 4, 5)

Pour m = 3 et n = 2

x = 3² - 2² = 5, y = 2.3.2 = 12, z = 3² + 2² = 13

5, 12, 13)

Pour m = 4 et n = 1

x = 4² - 1² = 15, y = 2.4.1 = 8, z = 4² + 1² = 17

(15, 8, 17)

ton carré de départ c'est un entier ou pas ?

n'ai-je pas traduit ton énoncé ?

ensuite on veut des rationnels....

Bon, donc tu peux en fabriquer autant que tu veux.

A chaque fois, tu vas trouver le nombre qui correspond, en espérant tomber sur 5.

Je te donne deux exemples :

1) avec 5, 12, 13

13² + 2.5.12 = (12 + 5)²
13² - 2.5.12 = (12 - 5)²

C'est-à-dire

13² + 120 = (17)²
13² - 120 = (7)²

Le nombre qu'on ajoute et qu'on retranche, 120, s'écrit

120 = 2².30

Donc en divisant par 2², on obtient

(13/2)² + 30 = (17/2)²
(13/2)² - 30 = (7/2)²

Encore loupé, on obtient 30 et pas 5

2) avec 15, 8, 17

17² + 2.15.8 = (15 + 8)²
17² - 2.15.8 = (15 - 8)²

C'est-à-dire

17² + 240 = (23)²
17² - 240 = (7)²

Le nombre qu'on ajoute et qu'on retranche, 240, s'écrit

240 = 4².15

Donc en divisant par 4², on obtient

(17/4)² + 15 = (23/4)²
(17/4)² - 15 = (7/4)²

Encore loupé, on obtient 15 et pas 5

J'espère que c'est plus clair.

x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n²

pour m = 20 et n = 15

x = 175

y = 300

z = 625

z² + 2xy = (x + y)²
et
z² - 2xy = (x - y)²

390625 - 105000 = -125²

je comprends assez ton exemple

mais arrivé là !

390625 + 105000 = 475²

après c'est moins simple

Houlà !, essaie avec des toutes petites valeurs de m et n, pas la peine d'aller chercher 20 ou 15 qui donnent des nombres très grands.

En plus tu t'es trompée, y = 600.

Tu peux trouver ce que tu cherches avec m 5 et n 5

donc

n² = p² + 5 = (1/4r²)[(r²+10)² + 20r²]

n² = q² - 5 = (1/4r²)[(r²-10)² - 20r²]

donc (r²+10)² + 20r² = (r²-10)² - 20r²

en développant r = 0 or r<>0 donc il n'y a pas de solution....

Bonjour carpediem

bonjour frenicle

déjà je ne sais si ce que je propose répond à la question de Louisa59

n est-il entier ? (le carré de départ...)

Non, n n'est pas nécessairement entier.
Sinon, il n'y a pas de solution, c'est clair.

Je ne sais pas si c'est un entier le carré de départ.

C'est un défi qu'a lancé Frédéric II à Fibonacci en organisant un grand tournoi mathématique.

Alors Louisa, où en es-tu ?

Tu verras les nombres complexes en terminale.
i est un nombre complexe dont le carré vaut -1.
Mais ces nombres n'avaient pas encore été inventés du temps de Fibonacci, et ce n'est pas la solution demandée.

Pour m = 9 et n = 3

x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n²

x = 72

y = 54

z = 90

z² + 2xy = (x + y)²

90² +2(3888) = 126²

et après ?

z² - 2xy = (x - y)²

90² - 2(3888) = 18²

je ne comprends pas pour continuer

Tu cherches le plus grand carré qui divise 2.3888.

Ici, tu as 2.3888 = 6.(36)²

Ensuite tu divises tes équations par 36²

(90/36)² + 6 = (126/36)²
(90/36)² - 6 = (18/36)²

En simplifiant

(5/2)² + 6 = (7/2)²
(5/2)² - 6 = (1/2)²

Mais on avait déjà cette solution. D'ailleurs le triangle 54, 72, 90 est de même forme que le triangle 3, 4, 5.

Donc si je comprends, il faut le trouver au "pif" ?

Oui, il y a un peu de tâtonnement.
Mais comme je t'ai dit, il n'est pas nécessaire d'aller au delà de m = 5  et n = 5.

-> carpediem

Dans tes équations de 12h30, tu as interverti p et q
p = (1/2r)(r² - 10) et non + 10.

pour m = 5 et n = 4

x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n²

x = 9

y = 40

z = 41

z² + 2xy = (x + y)²

41² + 2(360) = 49²



z² - 2xy = (x - y)²

41² - 2(360) = -31²

J'abandonne, je suis nulle !

N'abandonne pas tu viens de trouver !!!!

V(2401/144) = 49/12

Et bien, c'est ça.

Le carré que tu cherches est (41/12)² = 1681/144

Si tu ajoutes 5, ça fait  2401/144 = (49/12)², un carré ;
Si tu retranches 5 ça fait 961/144 = (31/12)² encore un carré.

C'est ce que tu voulais, non ?

Ben oui ! Ah la la ... que je suis longue à la détente !

Je te remercie frenicle

merci à carpediem aussi, mais je n'ai pas suivi ton raisonnement.

de rien

de toute façon en corrigeant mon erreur on trouve 0 = 0 ce qui n'avance à rien

et c'est frenicle qui a fait tout le boulot....

C'est un problème bien connu et très difficile. Cela s'appelle le problème des nombres congruents.

Donc 5 est un nombre congruent.

En général, il est difficile savoir si un nombre donné est congruent ou non.

Par exemple, 23 est congruent, mais les carrés solutions les plus simples sont :

(905141617/144613560)² + 23 = (1140299183/144613560)²
(905141617/144613560)² - 23 = (581618833/144613560)²



C'est entre autres ce genre de choses qui rend la théorie des nombres aussi fascinante : des questions simples et des réponses compliquées !

Moi je ne peux que féliciter les personnes comme vous qui sont aussi costauds !

Chapeau à tous ! Et chapeau à nos chers mathématiciens !

Merci mais j'aurais été bien incapable d'inventer ça tout seul.
C'est Diophante, Fibonacci, Frenicle (l'autre, celui de XVIieme siècle), Fermat, et bien d'autres plus modernes qu'il faut saluer

alors frenicle qu'a découvert ce Frenicle ?....

bon je viens de regarder sur wiki....je ne connaissais pas...

merci

Bah ! Cela m'a permis de me creuser et de faire couler un peu d'encre, puis...carpediem, te voilà encore plus riche de savoir ce soir

Merci encore

Je viens de lire ceci, en cherchant "nombres congruents" :

5 est congruent, en effet (9/6, 40/6, 41/6) est un triangle rectangle rationnel d'aire 9×40/(36×2) = 5

et

à tous

La question était si simple que je ne l'ai pas comprise,
par contre ,chapeau pour les réponses.