C'est desespérant, mais il en va ainsi. Les journalistes ne comprennent jamais rien à la science.
Ici l'auteur n'a même pas compris le problème et il énonce une fausse conjecture.
Note quand même Borneo, que ce n'est pas la connexité qui nous intéresse, mais la simple connexité. (pour cette conjecture)

Salut Otto, je m'inclus dans le "grand public"

Il faut que je potasse un peu pour comprendre ton intervention. Je voulais dire que le terme "connexe" ne dit pas grand chose au lecteur de base.

Si tu veux développer, ça intéressera sûrement du monde.

un site qui peut être interessant: http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Poincare.htm

Salut, je ne vois pas trop où tu veux que j'intervienne alors je vais me commenter:
La connexité est la propriété mathématique qui exprime la propriété d'être en un seul morceau. C'est une définition un peu litigieuse parce que c'est de la vulgarisation, mais ca vaut ce que ca vaut.
(en termes mathématiques c'est l'impossibilité d'être exprimé comme union de deux ouverts disjoints et non vide) C'est une propriété topologique.

La connexité par arcs est une propriété plus simple à comprendre et très proche de la précédente:
Un ensemble est connexe par arcs, si on peut toujours relier deux points a et b de l'ensemble, par un arc (c'est à dire un chemin continue) qui débute en a et qui se termine en b.
La connexité par arcs implique la connexité, la réciproque est fausse en général. Elle est cependant vraie dans un nombre de cas important: les ouverts de R^n. C'est à dire qu'un ensemble ouvert dans R^n est connexe si et seulement s'il est connexe par arc.

La simple connexité (propriété topologique):
Un domaine est simplement connexe s'il est connexe (donc connexe par arc puisque l'on est sur un ouvert) et s'il vérifie une propriété supplémentaire assez délicate à exprimer brièvement et rigoureusement. Alors pour faire simple, voyons cette propriété comme celle de ne pas avoir de trou. Par exemple C\{0} n'est pas simplement connexe, parce qu'il y'a un trou en 0.
Un beignet (un tore) n'est pas simplement connexe parce qu'il a un trou. etc.
La difficulté est de définir rigoureusement ce qu'est un trou. En fait, je ne sais pas si c'est possible de définir ce qu'est un trou, mais on peut savoir s'il y'en a un ou pas. Pour celà il suffit de prendre un point de base, sans eprte de généralité, on peut supposer que ce point est 0.
Ensuite on prend tous les chemins qui débutent et se terminent en 0. (donc toutes les boucles qui commencent et finissent en 0). L'ensemble de ses boucles modulo la relation d'équivalence qui consiste en la déformation continue d'une boucle en une autre, possède naturellement une structure de groupe. Ce groupe est appelé groupe fondamental du domaine en 0. On peut montrer que le fait que l'on soit en 0 ne change rien, et finalement on appelle ce groupe le groupe fondamental du domaine. Ce groupe possède au moins le neutre e, qui est le lacet constant sur 0. S'il ne possède aucun autre lacet, ca signifie que tous les lacets sont équivalents au lacet 0 (ie on peut déformer tous les lacets pour le retracter sur le lacet 0). Si le domaine avait un trou, instinctivement, on "voit bien" que si on avait pris un lacet entourant le trou, on n'aurai pas pu le retracter autant que l'on voulait, et on aurait été bloqué. On aurait donc eu au moins deux lacets différents.
Voilà ce qui nous motive donc à dire qu'un domaine est est simplement connexe (il n'a pas de trou) si son groupe fondamental est trivial (ie réduit à un seul élément).

Ici le(la?) journaliste nous dit que la conjecture de Poincaré est la question de savoir si la sphère de dimension 3 possède un trou. Ce n'est pas du tout ca qui est la conjecture de Poincaré, ceci étant trivial. La question est plutôt celle ci:
Etant un ensemble qui n'a pas de trou et qui est de dimension 3 (là aussi c'est quoi un espace de dimension 3? C'est un peu compliqué à définir, disons que chaque point a une base de voisinage qui peut être recollé sur R^3) peut on le déformer de façon homéomorphe (i.e. de façon bijective, continue et d'inverse continue) pour retomber sur la sphère de dimension 3?
Ce n'est absolument pas la même question ...

En espèrant que c'est plus clair.
a+
otto

Attention au lien donné également, l'auteur semble confondre le terme compact et fermé...
(même si les surfaces de Riemann compactes sont dites fermées)

Merci pour tes explications. Je suis en train de lire "Les énigmes mathématiques du 3e millénaire" de K.Devlin, et il n'emploie pas le terme de "connexe". Mais il parle de "rétractabilité des boucles" qui se réalise sur une sphère, et pas sur un tore.

Ce sont des sujets difficiles pour le non-innitié, mais passionnants.

Voilà.
La "retractibilité" de toutes les courbes sur la même courbe (le lacet constant) est ce que l'on appelle la simple connexité. C'est la propriété intuitive de ne pas posséder de trou.

A ce propos quelques résultats intéressants à propos de la simple connexité:

Le cercle unité T et l'ensemble [0,1] ne sont pas homéomorphe (on ne peut pas déforme bijectivement et continûment l'un en l'autre et inversement)

Tous les domaines (ensembles ouverts et en un seul morceau) du plan complexe sont homéomorphes. C'est à dire qu'on peut tous les déformer les uns en les autres de façon continue et bijective.

Ce dernier résultat découle de l'analyse complexe.
On a plein de résultats intéressants avec la simple connexité.