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un autre enigme mathématique

Posté par
oussayousei 12-08-13 à 00:21

salut,

voila un nouveau défit pour vous.

déterminez la limite de :

lim+ (x+(x+x))-x

bonne chance.

édit Océane : forum modifié

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 00:58

Bonjour,
Je propose \dfrac{1}{2}. La démonstration vient tout de suite.

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 01:05

\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \\ \\                                        =\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}+1}

Puisque \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}=0

Alors \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}

Merci pour tes énigmes!

Posté par
oussayouseire : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 02:30

encore une félicitation.

bon continuation !!!    

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 10:55

Merci ^^

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 12:47

oussayousei A moi de te donner une énigme.
Essayes de trouver ça:

Calcules 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2}}}}} à l'infinie (ça veut dire qu'il y a un nombre infinie de 2=)

Posté par
oussayouseire : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 18:12

d'accord

je vais essayer .

Posté par
oussayouseire : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 18:40

je propose :
(5+22)/2

c'est vrai ou non ?

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 12-08-13 à 19:31

^^ Non.

Posté par
oussayouseire : un autre enigme mathématique 14-08-13 à 01:32

s'il vous plait manga2
un indice

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 14-08-13 à 12:09

Tutois moi^^

Utilises les suites numériques. Considère la suite numérique (u_n) définie comme suit:

\forall n\in\mathbb{N}^*    u_n= 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2}}}}} où n est le nombre de 2 présent. La somme est donc égale à la limite de (u_n)

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 14-08-13 à 22:29

Bonsoir,
Sauf erreur (il se fait tard là où je suis donc désolé d'avance), je trouve 4.
Démo :
Soit (un) une suite telle que :
u0=2
un+1=(2+un)
On montre par récurrence que (un) est croissante et majorée par 2 (et minorée par 0)
Donc la suite (un) est convergente. Notons l sa limite
l=(2+l) où l0 ( car (un) 0)
l²-l-2=0
l=2 (l'autre solution de l'équation étant -1<0)
Ainsi (un) converge vers 2

Pour revenir à l'exo, on trouve donc que 2+(2+((2+...)))=2+un=4
Ce qui aurait été un peu plus marrant à la place (même si beaucoup de gens ici doivent connaître), ça aurait été de calculer

un autre enigme mathématique

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 14-08-13 à 22:38

Oups, désolé pour ce que j'ai écrit en gras (il faut lire "...= lim quand n tend vers + de (2+un)=4" )

Citation :
  = 2+un =4

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 15-08-13 à 13:15

Oui c'est ça!
Pour \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}} on utilise la même méthode, non?

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 15-08-13 à 14:33

Bonjour,
Oui, mais le résultat est un plus "marrant" et oussayousei peut essayer de le faire vu que l'autre le faisait un peu sécher.
Et merci encore pur l'exo (désolé, je n'en ai aucun en tête (mode vacances ) pour te rendre la pareille)

Posté par
dpire : un autre enigme mathématique 15-08-13 à 16:36

Bonjour,


On obtient 4 et comme l'infini est loin on dira 4-

Posté par
dpire : un autre enigme mathématique 15-08-13 à 16:39

Pour la suivante

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 15-08-13 à 18:12

En effet

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 16-08-13 à 01:19

>fravoi: Lol derien!

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 28-08-13 à 22:56

Bonsoir,
Si ça intéresse quelqu'un, je pense avoir trouvé une autre démonstration (en révisant ma trigo et en faisant des exos dessus ^^). Sauf erreur, la suite énoncée par Manga2 le 14 août à 12h et quelques peut également s'écrire 2*cos(/2n+1)

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 28-08-13 à 23:34

Bonsoir fravoi,
Oui ça m'intéresse moi! Je te serai reconnaissant de la poster!

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 29-08-13 à 14:05

Bonjour,
En fait, ce n'est pas exactement ta suite, mais bon ^^
Soit la suite (un) telle que :
\forall n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n} = \sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt{...+\sqrt{2}}}} (où n donne  le  nombre de radicaux)
Montrons par récurrence que u_{n}=2* cos( \frac{\pi}{2^{n+1}})

Pour n dans \mathbb{N^{*}}, on note P_{n} la proposition u_{n}=2* cos( \frac{\pi}{2^{n+1}})

Initialisation : \sqrt{2}=2*\frac{\sqrt{2}}{2}= 2*cos( \frac{\pi}{2^{2}})
P_{1} est vérifiée

Hérédité : Supposons P_{n} vraie pour un certain rang n. Montrons qu'alors u_{n+1}=2* cos( \frac{\pi}{2^{n+2}})
Par hypothèse de récurrence, u_{n}=2* cos( \frac{\pi}{2^{n+1}})=2* cos( \frac{2\pi}{2^{n+2}})= 2* cos (2\frac{\pi}{2^{n+2}})= 4 cos2(\frac{\pi}{2^{n+2}}[/tex]) -2(formule de duplication)
\Rightarrow \sqrt{2+ u_{n}}= \sqrt{4 cos^{2}(\frac{\pi}{2^{n+2}})}}  
Or on peut remarquer que u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} pour tout naturel n>1
Donc u_{n+1}=\sqrt{4 cos^{2}(\frac{\pi}{2^{n+2}})}}=2*cos(\frac{\pi}{2^{n+2}})
P_{n} est héréditaire

Ainsi u_{n}=2* cos( \frac{\pi}{2^{n+1}}) pour tout n \in \mathbb{N^{*}}

Après ce raisonnement par récurrence, il suffit de  prouver l'existence d'une telle limite (elle converge car cette suite est majorée par 2 et strictement croissante (car \frac{\pi}{2^{x+1}} est décroissante sur [0;+ [, majorée par \frac{\pi}{2} et minorée par 0 et cos(x) est décroissante sur [0;\frac{\pi}{2}] donc cos(\frac{\pi}{2^{x+1}}) est strictement croissante sur [0;+[ d'après le théorème sur les variations d'une fonction composée (ou un nom comme ça ^^))) et de jouer rapidement avec les limites (je n'ai plus vraiment le temps et donc désolé s'il y a des erreurs et/ou coquilles latex (je viens de me mettre au latex ^^)). En plus, je n''ai même pas mon brouillon sur moi donc difficile de vérifier rapidement.
A ce soir

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 29-08-13 à 16:35

Bonjour,

Merci pour ton effort.Excellente idée cette démonstration!.

Citation :
ce n'est pas exactement ta suite, mais bon

Pas du tout, c'est la suite (v_n)_{n\ge 1} qui réalise u_n=2+v_n. Calculer la limite de (v_n)_{n\ge 1} reviens à calculer celle de (u_n)_{n\ge 1}. Et effectivement \lim_{n\to +\infty}\,2\times cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)=2.

Pour LaTeX, pas la peine d'écrire avec seulement les expressions qui ont besoin de LaTeX, mais fait le pour toutes les expressions (dab ça simplifie l'écriture puisque tout est dans une balise, et ensuite c'est plus présentable et plus pratique).

En ce qui concerne la récurrence: on a \forall x\in\mathbb{R},\,cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=2\,cos^2(x)-1

Donc u_n=2\times cos\left(2\times\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)=4\times cos^2\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)-1

Et donc \sqrt{1+ u_{n}}=\sqrt{4 cos^{2}(\frac{\pi}{2^{n+2}})}} .

Ce qui m'a poussé à faire le calcul suivant:

u_3=2\times cos\left(\dfrac{\pi}{2^4}\right)\approx 1,961570561

Alors que \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\approx 1,982889722.

Donc u_n\neq 2\times cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right).

Néanmoins, par la même récurrence, on peut démontrer que \forall n\in\mathbb{N}^*,\,u_n>2\times cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right), non?

On peut donc essayer de trouver une suite (w_n)_{n\ge n_0} où N\in\mathbb{N} tel que \forall n\ge N,\,u_n\le w_n (où N\in\mathbb{N}) et \lim\,(w_n)_{n\ge n_0}=2. Là, on peut appliquer le théorème des gendarmes pour prouver que \lim\,(u_n)_{n\ge 1}=2.

Merci quand même!

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 29-08-13 à 17:03

Salut,
Je vais essayer d'être bref car je suis sur potable
Oui, on est d'accord que ce n'est pas la même suite (c'est pour ça que j'avais mis "^^", j'aurai dû mettre lol)
Pour LaTeX, merci pour le conseil
Par contre après, je ne suis pas d'accord (j'utilise pas latex, trop embêtant sur mon portable) :
u(n)=2*(cos(2pi/2^(n+2))=2*[2*cos²(pi/2^(n+2))-1]=4*cos²(pi/2^(n+2))- 2 et pas -1

Pour les approximations, je ne sais pas sur quoi tu l'as calculé, mais je trouve la même chose quand je tape les deux formules sur google (à savoir 1.96157056081).

Posté par
fravoire : un autre enigme mathématique 29-08-13 à 17:05

u(n)=2*(cos(2pi/2^(n+2)))
Je crois qu'il manquait une parenthèse dans mon précédent message

Posté par
Manga2re : un autre enigme mathématique 29-08-13 à 17:17

Effectivement je suis désolé T_T.
J'ai fait le calcule sur Maple (logiciel de calcule formelle). Je l'ai refait sur Matlab (logiciel de calcule numérique) ça m'a donné ton résultat.
hhh je me suis dit: Maple ne peut quand même pas se tromper pour un calcule aussi simple. J'ai refait le calcule, ça m'a donné 1.961570561 effectivement. Je suis encore une fois désolé

Excellente démonstration!


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