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Un autre logarithme complexe

Posté par
alainpaul 09-01-17 à 18:24

Bonsoir,

Il est possible de définir le logarithme de z sur le plan coupé P₀=C\R^-

de la manière suivante: $\int_0^y \frac{idt}{1+it}+\int_1^x \frac{dt}{t+iy}$
la construction est unique donc la valeur de Log(z) est unique.

MA QUESTION :
cette valeur correspond -elle à une des valeurs du ln 'standard' donné par:
$ln(z)=ln|z|+i(\phi+2k\pi) ,k \in Z$ ?

Alain

Posté par re : Un autre logarithme complexe 10-01-17 à 09:04

Bonjour alainpaul
ma réponse : il vaudrait mieux !

$\int_0^y\dfrac{i\mathrm{d}t}{1+it}=i\int_0^y\dfrac{1-it}{1+t^2}\mathrm{d}t=i\arctan y+\dfrac12\ln(1+y^2)$

De même, $\int_1^x\dfrac{\mathrm{d}t}{t+iy}=\int_1^x{\dfrac{t-iy}{t^2+y^2}\mathrm{d}t=\dfrac12\ln(t^2+y^2)\Bigr]_1^x-i\int_1^x\dfrac{y\mathrm{d}t}{t^2+y^2}$

                                 $=\dfrac12\ln(x^2+y^2)-\dfrac12\ln(1+y^2)-i\arctan\frac ty\Bigr]_1^x$

                               $=\dfrac12\ln(x^2+y^2)-\dfrac12\ln(1+y^2)-i\arctan\frac xy+i\arctan\frac1y$

et finalement la somme est $i\mathrm{sgn}(y)\dfrac{\pi}2+\dfrac12\ln(x^2+y^2)-i\arctan\frac xy$ ce qui donne bien, en supposant $x,y$ positifs, la formule voulue avec $k=0$ . Reste à étudier les autres combinaisons de signes, ce qui ne semble pas bien méchant.

Posté par re : Un autre logarithme complexe 10-01-17 à 10:39

Bonjour,

Merci pour ta prompte intervention.

"ma réponse : il vaudrait mieux ! " oui,c'était bien mon idée.

Je dois comprendre que les deux expressions coîncident donc uniquement pour k =0 dans (2k de la formule standard.

Alain