Niveau Oraux, olympiades...

un calcul de limite

Posté par
perroquet 27-02-22 à 08:13

Bonjour à tous.

Je vous propose cet énoncé, tiré d'une compétition étudiante.

Calcul de limite

Pour $x$ réel strictement positif, on définit $\large g(x)=\lim_{r\rightarrow 0} \left((x+1)^{r+1}-x^{r+1}\right)^{\frac{1}{r}}$
Trouver $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{x}$

Posté par re : un calcul de limite 27-02-22 à 13:12

salut

posons $p(r) = x^r$ donc $p'(r) = p(r) \ln x$ et $p(0) = ln x$

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mon argumentation n'est peut-être pas très rigoureuse

donc je ne suis pas sûr de ce résultat ...

mais si g(x) est exacte alors je sais (!!) résoudre la deuxième question !!

Posté par re : un calcul de limite 27-02-22 à 13:13

enfin j'espère ...

Posté par re : un calcul de limite 27-02-22 à 13:16

bon allez j'me lance !!! (mais pas trop fort pour ne pas me faire de mal en tombant !!)

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Posté par re : un calcul de limite 10-03-22 à 17:00

Bonjour,

je suis d'accord avec le résultat de carpediem

J'ai remarqué que dans cet exercice on obtient le même résultat en permutant les deux limites :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\lim_{r\rightarrow 0} \dfrac{\left((x+1)^{r+1}-x^{r+1}\right)^{\frac{1}{r}}}x= \displaystyle\lim_{r\rightarrow 0}\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{\left((x+1)^{r+1}-x^{r+1}\right)^{\frac{1}{r}}}x \\$