Bonjour,

avec un logiciel de calcul formel, on a le droit ?

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conjecture : un des côtés du carré est parallèle à un des côtés de l'heptagone.

Suite à la réponse de mathafou .
On cherche le coté d'un tel carré et une seule position.

ce que je voulais dire dans ma remarque est que on cherche le carré tout court. (dont les 4 sommets sont sur l'heptagone)
le plus grand certes, vu que ce sera le seul, à symétrie près !
un carré dont les 4 sommets ne sont pas tous sur l'heptagone ne serait pas le plus grand.

J'ai une solution calculatoire pour cet exercice intéressant

Bonsoir,
j'ai fait le calcul en utilisant la conjecture de mathafou : le carré a un côté parallèle  à un de ceux de l'heptagone.
Pour un heptagone inscrit dans le cercle trigo je trouve un carré de côté
avec

En prenant un heptagone régulier de côté 1 on divise par et on trouve un carré de côté environ 1,6807.

Je me suis aidé d'XCas mais il n'est pas impossible que j'ai rajouté des erreurs.

dans l'heptagone de côté 1, ma construction avec réglage manuel à 10^-5 donne un carré de côté 1.50855



le principe de cette construction (sans à priori) :
soit H un point variable de AG, on veut I sur BC et K sur EF
donc K est sur l'image de BC par rotation de 90° de centre H
ceci donne I et K
on ajuste manuellement H pour que J soit sur CD
nota : le lieu de J quand H varie est une droite parallèle à AG
on devrait sans doute pouvoir le démontrer et calculer cette droite exactement, ce qui éviterait l'ajustage manuel

PS : on peut toujours (sans la preuve) définir la droite par deux points, voire un seul et obtenir la construction sans ajustement.

>verdurin
J'arrive à des chiffres différents:
*cercle rayon 1
*heptagone cotés  2sin /7 (énoncé)0.86777
*coté du carré 1.254438
a l'échelle si on prenait un heptagon de de coté 1cela donnerait
1.445592

à l'échelle si on prenait un heptagone

J'ai peut-être fais une erreur.
Je suis parti de l'heptagone de sommets

et de M sur le segment [A₃ ; A₂].
Le point N est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses, il est donc sur [A₄ ; A₅]. Le  quadrilatère (MNPQ) est un carré. Il est facile de calculer les coordonnées de Q en fonction de celle de M.

Il suffit ensuite de déterminer les coordonnées de M pour que Q soit sur [A₀ ; A₁] .
Pour ça j'ai écrit et j'ai déterminé avec Xcas la valeur de t telle que Q soit sur [A₀ ; A₁] .

Je suis parti avec les angles mais il y a le piège des centres en effet
le centre du cercle  (et de l'heptagone )n'est pas le même que celui du carré.

je confirme mes valeurs
avec l'hypothèse que ma conjecture est vraie (ce qui n'était pas une contrainte de ma figure précédente mais une conséquence observée)
et en reprenant les données de l'énoncé (cercle de rayon 1), les divers carrés de côté MN quand M varie sont homothétiques de centre I



il suffit d'en tracer un pour avoir le lieu de Q et donc son intersection avec AA' donnant la construction de la solution.
et le côté = 1,30907
et la confirmation de ma valeur précédente = MN/EF = 1,50855

Oui , ta construction rappelle celle du carré inscrit dans un triangle

D'un autre côté je ne suis pas sûr que dans l'exercice chacun soit parti avec les mêmes hypothèses pour l'heptagone : rayon 1 ou côté 1 ?

Imod

les deux ont été donnés, aussi bien par verdurin , que dpi et moi

dont le cas rayon = 1 avec 3 valeurs différentes
verdurin 1.4585
dpi 1.254438
moi 1,30907

Oui , j'ai relu l'ensemble du fil car je n'avais suivi que d'un œil . D'un autre côté le piège a été repéré assez vite : la confusion des centres . Après il fallait trouver le bon angle d'attaque pour le contourner

Imod

PS : j'ai fait mon choix entre les trois propositions .

Je confirme que dans l'hypothèse de l'énoncé (R=1)  je trouvais que
ma première proposition était un peu faible car visiblement le coté du carré était voisin de 1.3.
En me servant des angles ,de  Pythagore  et de Thalès dans la grande diagonale MN sur la figure de mathafou  je trouve aussi 1.309

On peut donc dire que le sujet est clos.
Question :
Cette étude existe-t-elle dans les annales ?

Je suis persuadé que  ce problème a été étudié sous toutes les coutures : inscrire un polygone régulier dans un autre . Il y a sans doute quelques invariants et procédés à connaître pour éviter de partir en aveugle dans tous les sens .

Imod

Il y avait une erreur dans mon calcul.
Finalement je trouve la même valeur que mathafou.

Je donne l'expression exacte du côté en fonction de :

>verdurin
Si on effectue le calcul ,on obtient  1.846011/1.580151 =1.168249

Nous sommes tombés d'accord pour:
1.309072  pour un coté de  2/7 , R=1
et 1.508551 pour un coté  1  ,R= 1.152382