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un chouette théorème

Posté par
Glapion Moderateur
22-07-20 à 14:28

Bonjour, connaissez vous ce théorème que je trouve vraiment sympa (je ne vous donne pas son nom parce que sinon vous trouverez facilement les réponses) ? :
un chouette théorème

on a donc une courbe convexe fermée C et un segment de longueur constante dont les extrémités A et B qui se déplacent sur la courbe. on s'intéresse à la trajectoire d'un point M fixe sur le segment (tel que AM = a et MB = b). Ce point M décrit une nouvelle courbe C'.

Ce théorème dit que la différence des aires C et C' ne dépend pas de la forme de la courbe C et ne dépend que de a et b.

Je ne vous demande pas forcement la démonstration de ce résultat (encore que ça peut tenter les nombreux talents de l'île, c'est accessible) mais de deviner la formule qui donne cette différence d'aire ?

Question subsidiaire : sauriez-vous à partir de ce résultat retrouver sans calculs l'aire d'une ellipse ? d'une tractrice ou d'une astroïde ?

Posté par
lake
re : un chouette théorème 22-07-20 à 15:08

Bonjour,

  

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Posté par
lake
re : un chouette théorème 22-07-20 à 15:59

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Posté par
Glapion Moderateur
re : un chouette théorème 22-07-20 à 16:42

oui bravo lake
un dessin plus classique pour l'ellipse est :

un chouette théorème

Posté par
lake
re : un chouette théorème 22-07-20 à 16:47

Ah! Des quarts d'ellipse dans un carré!

Posté par
lake
re : un chouette théorème 22-07-20 à 17:11

Je n'avais jamais entendu parler de ça.
J'espère que d'ici quelques temps tu nous donneras un nom voire des sources, Glapion.
D'ores et déjà merci pour cette très intéressante énigme!

Posté par
Glapion Moderateur
re : un chouette théorème 23-07-20 à 12:22

Ça s'appelle le théorème de Holditch.

Publié par Hammet Holditch en 1858 (Holditch a été président du Cains College de Cambridge au milieu des années 1800).
le lieu de M s'appelle d'ailleurs la courbe de Holditch de la courbe C.

A noter le lien avec la construction d'une ellipse par la méthode de la bande de papier :
un chouette théorème

Posté par
lake
re : un chouette théorème 23-07-20 à 13:41

Merci Glapion

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