Salut,

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pour la 0) on peut prendre l'indicatrice de Q, qui sera intégrable au sens de Lebesgue et bornée. Pour la 1) ca semble plus coton ca demande réflexion

bonjour,

moi la 0) c'est déjà pas mal...

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si je prend

Salut,

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pour la 1), une petite idée serait de partitionner R en deux sous-ensembles de mesure non nulle A et B denses et tels que A ou B privés d'un ensemble de mesure nulle soient encores denses. Ainsi en prenant l'indicatrice de A on aurait une fonction qui répond à la question.

question 0) : c'était une mise en jambe.

question 1) : bon début de Cauchy.

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il suffit même que A vérifie :
  * A dense
  * pour tout intervalle I :

suite de la réponse à Cauchy :

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Le A dense ne sert à rien ! C'est un corollaire de la seconde condition...

Salut

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"Presque partout" = "sur un dense"?

Presque partout ne signifie pas "sur un sous-ensemble dense" ! Il signifie sur un ensemble de mesure pleine. Evidement.

Pour les non-inités, on peut le définir sans trop de théorie de la mesure...

1) Mesurer les ouverts de . Un ouvert de est une réunion dénombrable de segments disjoints, on peut donc étendre de manière unique la fonction :

définie sur les segments aux ouverts en demandant à ce qu'elle soit sigma additive : la mesure d'une réunion dénombrable d'ouverts est la somme des mesures. La fonction se rapproche de ce qu'on appelle une mesure en théorie de l'intégration (ou en probabilité, ou en théorie ergodique,...).

2) Mesurer les ensembles. Si est un ensemble, on définit sa mesure extérieure comme :

où l'inf est pris sur les ouverts contenant A. Si la mesure extérieur d'un ensemble est nulle on dit qu'il est négligeable.

(exercice : est de mesure extérieure nulle. En particulier il y a des ensembles denses négligeables.)
(exercice : l'ensemble triadique de Cantor est de mesure extérieure nulle. En particulier il existe des ensembles non dénombrables négligeables.)

3) Un ensemble est de mesure pleine est le complémentaire d'un ensemble négligeable.

tringlarido->

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Je suis ok avec ta deuxieme condition, le fait est que je vois pas comment exhiber facilement un ensemble A qui vérifie cette propriété, peut être faut il avoir recours à l'axiome du choix(ou Zorn) ou il a quelque chose de simple qui m'échappe?

Cauchy : Non : c'est fantastique pas besoin d'axiome du choix

(je ne blank pas tout le monde à le droit de savoir ça)

Pour Cauchy seulement cette fois :

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Je ne sais pas construire l'ensemble A en question... avec ou sans axiome du choix. Je ne suis même pas sur que ce soit possible.

Ma méthode passe par un autre chemin. Mais si celle là aboutit je la préfére.

tringlarido-->

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En fait bien j'arrive pas à le construire non plus. J'avais une idée probabiliste, bon disons pour l'instant que je la construis sur [0,1], je prends x et je tire au hasard un réel entre 0 et 1(en tirant son développement 2-adique) et j'appelle ca f(x), mais bon je sais pas rendre ce genre de truc rigoureux vu mon niveau en proba. Sinon me dit pas que ta solution utilise un truc genre mouvement brownien(je connais que le nom ).

Bon sinon une idée plus concrète avec le développement décimal, en gros si on prend en compte qu' un nombre fini de décimales pour construire la fonction ca peut pas marcher car on fera des fonctions constantes sur des intervalles.

Bon j'ai une idée qui utilise toutes les décimales, si mon réel a un développement décimal de la forme je lui associe qui est bien finie car c'est borné par 1 et c'est bien continue nulle part, si tu prends un réel et tu regardes un voisinage arbitrairement proche à 10^k près et bien en changeant toutes les décimales suivantes tu es dans le voisinage mais ton image n'est pas proche(je sens que j'ai été clair la ). Après si tu modifies cette fonction sur un ensemble de mesure nulle, j'ai bien l'impression que ce sera toujours nulle part continue.

Réponse à Cauchy :

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On peut faire tout ça en base 2. Si x est dans [0;1] on note son développement binaire.

Les fonctions :

sont bien définies, mesurable, bornées (par 1).

On peut prendre la limite

qui est définie partout et est mesurable.

Mais, théorème (corollaire de la loi des grands nombres) :
Pour presque tout x, f(x) = 1/2.

Donc f ne permet pas de faire une partition intéressante.

réponse à Cauchy (que tout le monde peut lire) : j'ai longtemps peiné sur cet exercice que j'ai fini par poser à tout mon entourage. Une réponse est finalement apparue d'une amie et cette solution n'est pas si compliquée.

réponse à Cauchy (pour Cauchy) :

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Par contre, je ne suis pas du tout sur qu'il existe d'ensemble A tel que pour tout intervalle I :


J'ai des doutes à ce sujet, car il est impossible de construire A tel que pour tout intervalle I :


La première condition est certes moins fortes, mais... en tout cas ça pourrait aussi être l'objet d'un défi.

Réponse à Cauchy à tout autre chose que l'exercice :

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Oui, on est etonné qu'un ensemble mesurable ne puisse pas partager ainsi les réels... ils sont quand même bien ces boréliens.

La méthode que je connais utilise le théorème de densité de Lebesgue.

Si f est une fonction (localement) intégrable, on peut la moyenniser en considérant :

Ces fonctions sont définies partout et (théorème) elles convergent presque partout vers f. (On pourra aussi remarquer que les sont continues, mais on s'en fout ici.)

Ceci élimine l'existence d'un A vérifiant la seconde condition : si on prend alors est constante !


Pour la seconde condition, il faut imaginer un ensemble qui devient de plus en plus dense lorsqu'on retrecit l'échelle... Ca reste dur à imaginer.

Réponse à Cauchy pour son début de solution à l'exercice :

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Salut,

Il existe bien des boréliens A de [0;1] tels que pour tout segment ouvert J non vide on ait :


et il en existe même beaucoup !

On peut en construire explicitement en imitant la preuve de la construction de l'ensemble de Cantor. Mais à chaque étape, il faut à la fois enlever des segments dans les parties "pleines", et aussi ajouter des segments dans les parties "creuses". Si ça t'intéresse je peux donner les grandes lignes de la démonstration sous forme de question. Ou sinon j'ai rédigé un PDF, mais c'est moins rigolo !