Bonjour!
Un début de solution dans le cas où f' positive, f et f' nulles en 0 et en se limitant à x positif:

f"<=M donc 2f'f"<=2Mf' donc 2f'f"-2Mf'<=0 donc
décroissante donc négative sur ]0,+l'infini[ donc donc

Salut tout le monde,

blang >> T'entends quoi par "exercice 'minute'"?

@Ayoub:

La preuve est assez courte

Ok.

Bonjour,

Alors, à part rogerd, personne n'est inspiré par ce classique ?

Salut

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Avec Taylor-Lagrange:

On a l'existence de et tels que :

On fait gentilment la différence et on isole f' :


Or et (ça coince ici)

Alors .
Je n'étais pas loin

@Nightmare:

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h, c'est /2 ? D'autre part, je ne comprends pas ta dernière inégalité . C'est l'IAG à l'envers ?

Ou alors, sachant que l'inégalité est vraie pour tout >0, tu choisis ?

Mais de tout façon, ça ne répond toujours pas à la question

[blank]Oups désolé quelques erreurs, h c'est epsilon² dans f' et epsilon tout court à côté de M (j'ai fait avec des h sur mon brouillons)

Bref la dernière inégalité vient simplement de l'étude de la fonction A/e+eM.

Nightmare:

Je n'ai pas épluché ta démonstration, mais il me semble qu'on peut la faire marcher: remplacer le sup(|f|) sur R par le sup(|f|) sur ]x-,x+[ et, tout à la fin, faire tendre vers 0.

@Nightmare :

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Citation :
Bref la dernière inégalité vient simplement de l'étude de la fonction A/e+eM.

On obtient l'inégalité inverse dans ce cas.

Euh je ne crois pas Blang, c'est même un maximum atteint en V(2AM)

Oui en effet rogerd ça a l'air de marcher.

@rogerd:

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Citation :
il me semble qu'on peut la faire marcher

Je ne vois pas trop comment pour l'instant car   (IAG)...

@Nightmare:

Ah mais non, j'ai vu ton erreur: h ce n'est pas ² mais /2

Une autre idée:

Une translation sur la variable ne changeant pas les propriétés de f, je me limite à démontrer l'inégalité demandée pour x=0.
De même, f(-x) ayant les mêmes propriétés que f, je me ramène au cas f'(0)>=0.

Je reste sur ]-,0]

f"<= M donc f'-Mx est décroissante donc >=f'(0).

Donc f'-Mx-f'(0)>=0 donc est croissante, donc inférieure à f(0).

Donc .
Donc le trinôme est positif pour tout x réel.
Donc son discriminant est négatif.
C'est l'inégalité recherchée.

rogerd

La preuve que j'ai utilise aussi le discriminant d'un trinôme du second degré.

Par positivité de f et d'après Taylor-Lagrange, si h , on a: . Ainsi le discriminant du trinôme est négatif ou nul: d'où l'inégalité annoncée. (le raisonnement ne marche pas si M=0: mais cela arrive uniquement quand f est affine, c'est-à-dire quand f est constante>0 vu que f est positive sur , cas évident).