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Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de...

Posté par
frenicle 20-12-08 à 11:33

Bonjour à tous

Un petit problème avant de déjeuner.

9 est la somme de deux cubes :

9 = 23 + 13

Sauriez-vous trouver deux autres nombres rationnels positifs x et y tels que :

9 = x3 + y3

Bonne recherche !

Frenicle

Posté par
Louisa59re : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 11:47

9 = (6/3)3 + (3/3)3

Posté par
freniclere : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 12:11

Bonjour lièvre59

J'ai demandé deux autres nombres.
Là tu donnes les mêmes sous un déguisement.

Posté par
freniclere : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 12:18

Un petit indice :

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Posté par
matovitchre : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 13:27

Salut à tous !

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j'aurai du mal à retenir cette indentité !

Posté par
freniclere : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 13:41

> matovitch

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Posté par
matovitchre : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 20-12-08 à 13:55

arf oui !

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Posté par
freniclere : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 02-01-09 à 15:13

Posté par
gui_toure : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 02-01-09 à 16:47

Bonjour!

[frenicle > à propose de ton topic "Endomorphisme de carré scalaire", ne pourrait-on pas utiliser le lemme de décomposition des noyaux   ?]

Posté par
Francois86re : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 03:07

Alors puisque (20/7)3 - (17/7)3 = 9, je me suis dit qu'en utilisant l'identité (bien pratique ma foi !) avec a=20/7 et b=17/7 ça devrait marcher, sauf que a-2b3 est négatif!! Du coup on retombe non pas sur une somme, mais sur une différence !
On obtient 9 = (-36520/90391)3 + (188479/90391)3

Donc il faudrait recommencer avec ces deux valeurs pour a et b ?! bon courage !! et puis je pense qu'on obtiendra toujours quelque chose de négatif. Alors, à mon avis, soit problème impossible, soit l'identité ne s'utilise pas de cette manière !

Posté par
Youpire : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 19:08

voici une proposition:

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Posté par
Francois86re : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 19:15

Youpi :
Lorsque je met ta proposition dans excel, voici sa réponse :
9,00000112634627
Je sais qu'il y a des possibilités d'erreurs d'arrondis vu le nombre de chiffres, donc je sais pas !

Posté par
Youpire : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 19:20

oui excel fais des arrondi très grossier avec les grand nombres (ça m'a d"ailleurs value un poisson très récemment )

Posté par
gui_toure : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 19:37

Hello,

Youpi :

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Posté par
Youpire : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 20:07

effectivement il y avait une petite erreur dans le premier nombre :

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Posté par
Youpire : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 10-01-09 à 20:14

Voici un lien faire un applet qui fait des calculs avec des grands nombres:

Posté par
freniclere : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 11-01-09 à 17:02

Bonjour à tous

Bravo à Youpi !

Quelques commentaires sur la solution.
D'abord, la formule
4$a^3 - b^3 =a^3(\frac{a^3-2b^3}{a^3+b^3})^3+b^3(\frac{2a^3-b^3}{a^3+b^3})^3

implique en changeant b en -b :
4$a^3 + b^3 =a^3(\frac{a^3+2b^3}{a^3-b^3})^3-b^3(\frac{2a^3+b^3}{a^3-b^3})^3

Donc si a et b vérifient 4$a^3 + b^3 = 9, il en est de même de 4$a\frac{a^3+2b^3}{a^3-b^3} et 4$-b\frac{2a^3+b^3}{a^3-b^3}

En répétant trois fois l'opération on trouve la solution de Youpi.

D'où sortent ces formules, et pourquoi est-ce que ça marche ?

Considérons la courbe d'équation 4$x^3+y^3 = 9 et un point A sur cette courbe, de coordonnées 4$(a,b).
La tangente à la courbe au point A a pour équation 4$a^2x + b^2y = 9.
Cette tangente recoupe la courbe au point de coordonnées 4$(a\frac{a^3+2b^3}{a^3-b^3}, -b\frac{2a^3+b^3}{a^3-b^3}).

Ici on part du point 4$(2,1) de la courbe. La tangente en ce point, d'équation 4$4x+y=9 recoupe la courbe au point 4$(\frac{20}{7}, \frac{-17}{7}). La tangente en ce point, d'équation 4$(\frac{20}{7})^2x + (\frac{17}{7})^2y=9, recoupe la courbe au point 4$(\frac{-36520}{90391}, \frac{188479}{90391}). Et en recommençant on obtient finalement la solution de Youpi : 4$(\frac{487267171714352336560}{609623835676137297449},\frac{ 1243617733990094836481}{609623835676137297449}).

D'une façon générale, si on a une courbe du troisième degré à coefficients rationnels qui passe par un point à coordonnées rationnelles, la tangente à la courbe en ce point la recoupe en un point dont les coordonnées sont encore rationnelles. Cette observation, ainsi que d'autres du même genre, est essentielle dans l'étude des « courbes elliptiques ».

Voici le graphique qui montre la courbe et les tangentes. Les points notés 4$(x_0, y_0) et 4$(x_1, y_1) sont respectivement 4$(\frac{-36520}{90391}, \frac{188479}{90391}) et 4$(\frac{487267171714352336560}{609623835676137297449},\frac{ 1243617733990094836481}{609623835676137297449}) :

Un gros cube, un ptit cube, c\'est l\'heure de...

Dernière remarque : ce problème a été résolu pour la première fois par Fermat, alors que sa solution avait échappé à Viète et Bachet.

Merci pour votre participation.

Cordialement
Frenicle

Posté par
carpediemun gros cube,unptit cube,... 11-01-09 à 20:33

salut et merci pour ces révision

j'avais pensé à la courbe (et au -1) mais pas du tout à la tangente

Posté par
Francois86re : Un gros cube, un ptit cube, c'est l'heure de... 11-01-09 à 23:34

Très interessante énigme!
Je voyais pas pourquoi en réessayant avec les fractions négatives trouvées on pourrait finir par tomber sur des fractions positives, mais avec l'explication par les courbes je comprends !
Merci pour l'énigme !


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