Bonjour à tous
Un petit problème avant de déjeuner.
9 est la somme de deux cubes :
9 = 23 + 13
Sauriez-vous trouver deux autres nombres rationnels positifs x et y tels que :
9 = x3 + y3
Bonne recherche !
Frenicle
Bonjour!
[frenicle > à propose de ton topic "Endomorphisme de carré scalaire", ne pourrait-on pas utiliser le lemme de décomposition des noyaux ?]
Alors puisque (20/7)3 - (17/7)3 = 9, je me suis dit qu'en utilisant l'identité (bien pratique ma foi !) avec a=20/7 et b=17/7 ça devrait marcher, sauf que a-2b3 est négatif!! Du coup on retombe non pas sur une somme, mais sur une différence !
On obtient 9 = (-36520/90391)3 + (188479/90391)3
Donc il faudrait recommencer avec ces deux valeurs pour a et b ?! bon courage !! et puis je pense qu'on obtiendra toujours quelque chose de négatif. Alors, à mon avis, soit problème impossible, soit l'identité ne s'utilise pas de cette manière !
Youpi :
Lorsque je met ta proposition dans excel, voici sa réponse :
9,00000112634627
Je sais qu'il y a des possibilités d'erreurs d'arrondis vu le nombre de chiffres, donc je sais pas !
oui excel fais des arrondi très grossier avec les grand nombres (ça m'a d"ailleurs value un poisson très récemment )
Bonjour à tous
Bravo à Youpi !
Quelques commentaires sur la solution.
D'abord, la formule
implique en changeant b en -b :
Donc si a et b vérifient, il en est de même de et
En répétant trois fois l'opération on trouve la solution de Youpi.
D'où sortent ces formules, et pourquoi est-ce que ça marche ?
Considérons la courbe d'équation et un point A sur cette courbe, de coordonnées .
La tangente à la courbe au point A a pour équation .
Cette tangente recoupe la courbe au point de coordonnées .
Ici on part du point de la courbe. La tangente en ce point, d'équation recoupe la courbe au point . La tangente en ce point, d'équation , recoupe la courbe au point . Et en recommençant on obtient finalement la solution de Youpi : .
D'une façon générale, si on a une courbe du troisième degré à coefficients rationnels qui passe par un point à coordonnées rationnelles, la tangente à la courbe en ce point la recoupe en un point dont les coordonnées sont encore rationnelles. Cette observation, ainsi que d'autres du même genre, est essentielle dans l'étude des « courbes elliptiques ».
Voici le graphique qui montre la courbe et les tangentes. Les points notés et sont respectivement et :
Dernière remarque : ce problème a été résolu pour la première fois par Fermat, alors que sa solution avait échappé à Viète et Bachet.
Merci pour votre participation.
Cordialement
Frenicle
salut et merci pour ces révision
j'avais pensé à la courbe (et au -1) mais pas du tout à la tangente
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :