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Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....***

Posté par
Victor
26-10-04 à 19:41

On considère un cube de 12 cm de côté constitué de petits cubes de 1 cm de côté.

1) On sépare tous les cubes de 1 cm de côté.
En utilisant tous ces petits cubes, on veut construire deux cubes.
Quelles sont les dimensions de ces deux cubes ?

2) On sépare de nouveau tous les cubes de 1 cm de côté et on ajoute maintenant un petit cube.
On veut de nouveau construire deux cubes en utilisant tous les petits cubes.
Quelles sont les dimensions de ces deux cubes ?

Clôture mercredi soir.
Bon courage...

@+

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 26-10-04 à 20:09

gagné1)
Il y a 12³ = 1728 mini cubes.

on essaie de trouver a et b entiers tels que a³+b³ = 1728 et ... il n'y a pas de solution.

A se rappeler 1729 est le plus petit cube qu'on peut décomposer en une somme de 2 cubes.

-> Réponse: il n'y a pas de solutions au problème
-----
2)
J'ai dévoilé la solution via la première question.

On cherche a et b entiers pour avoir a³ + b³ = 1729
Et là, il y a deux solutions:

La première est évidente: 1 cube de 12cm de coté et 1 cube de 1 cm de coté.
La seconde est: 1 cube de 9 cm de coté et 1 cube de 10 cm de coté
-----


Posté par titimarion (invité)fermat 26-10-04 à 21:37

gagnéBien sur il n'y a pas de solution à la premièreproposition d'après le théorème de Fermat Wiles\forall n \ge 3 il n'y a pas de solution à l'équation x^n+y^n=z^n et donc il est impossible de créer 2 cubes à l'aide du cube de 12 cm de côté en utilisant tous les cubes de 1 cm de côté.
Pour la deuxième question il y a évidement la réponse la plus simple qui consiste à dire que si l'on rajoute un cube alors on peut avoir un cube de 1728 cm^3 ainsi qu'un cube de  1 cm^3 mais une deuxième décomposition peut se trouver à l'aide d'un cube de 10 cm de cote et un cube de 9 cm de cote ce qui fait donc pour les volumes respectivement 1000 cm^3 et 729 cm^3
et ceci peut s'obtenir soit en calculant tous les cubes des 11 premier nombres relatifs ce qui est calculatoire mais comme il y a peut de nombre peut problématique et peut être aussi à l'aide de formule arithmétiques basé sur les caractères et la congruence à 1 modulo 1728

Posté par BioZiK (invité)re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 26-10-04 à 21:46

1) si on calcule (12^3 - k^3)^(1/3) pour k variant de 1 à 11 on obtient aucune valeur entière, il n'est donc pas possible de construire 2 cubes avec 12^3 petits cubes.

2) si on calcule (1 + 12^3 - k^3)^(1/3) pour k variant de 1 à 12  on obtient des valeurs entières pour k={1,9,10,12). Ainsi il existe 2 solutions. On peut construire avec 1+12^3 petits cubes les paires de cubes de dimensions suivantes:
-un cube de 1 cm de côté + un cube de 12 cm de côté
-un cube de 10 cm de côté + un cube de 9 cm de côté

Posté par pinotte (invité)re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 14:21

gagné1) x3 + y3 = z3 n'a aucune solution possible!

2) Les cubes seront de 9 cm de côté et 10 cm de côté, ou bien de 12 cm de côté et de 1 cm de côté.

Posté par moor31 (invité)re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 17:35

gagné1) On sépare tous les cubes de 1 cm de côté.
En utilisant tous ces petits cubes, on veut construire deux cubes.
On a donc 12^3=1728 petits cubes !!!
On doit donc resoudre x^3+y^3=12^3
Le théorême de Fermat devenu Théorème de Fermat- Wiles (Car il n'a été démontré par Wiles qu'en 1992) dit que : x^n+y^n=z^n n'a pas de solution pour n>2
Il n'y a donc pas de solution pour les dimensions de ces deux cubes, si on utilises tous les petits cubes.

2) On sépare de nouveau tous les cubes de 1 cm de côté et on ajoute maintenant un petit cube.
On veut de nouveau construire deux cubes en utilisant tous les petits cubes.
On doit donc resoudre x^3+y^3=12^3+1
Il y a donc 2 solutions :
1 évidente : un carré de 12 cm de côté et un de 1 cm de côté ce qui est dans l'énoncé
2 autre solution : un carré de 9 cm de côté et un de 10 car : 9^3+10^3=1729 !!!

@+++
Moor31

Posté par Graubill (invité)re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 17:41

gagnéa)

x^3 + y^3 = 12^3

soit y=f(x)=(12^3-x^3)^(1/3)
x € [0;12]
f(0)=12
11 < f(1) < 12
11 < f(2) < 12
11 < f(3) < 12
11 < f(4) < 12
11 < f(5) < 12
11 < f(6) < 12
11 < f(7) < 12
10 < f(8) < 11
9 < f(9) < 10
8 < f(10) < 9
7 < f(11) < 8
f(12)=0
Il n'y a pas de solutions en utilisant tous les cubes sauf en en faisant 1 de 12 cm et un nul,( faut l'imaginer)

b)
BAH??? un de douze cm et un de 1cm!!
Si tu ajoutes un petit cube à un grand cube, c'est que tu en as deux!!!

Bien sur on pourrais aussi dire que 12^3+1=10^3 + 9^3.
Mais c'est moins drole...
s={(1;12);(9;10)}

Posté par Strubel (invité)re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 18:32

gagnéImpossible de faire le petit 1!
Mais pour le petit 2, nous avons un total de 1729 cubes! (12 au cube +1), on peut donc réaliser deux cubes, un de 10 cm de coté (10 au cube = 1000) et un de 9 cm de coté (9 au cube = 729)!
Merci pour le poisson a la fine de l'énigme vu que je n'ai pas fais le 1)!

Posté par
siOk
re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 18:52

perduBonjour,

1) 10 et 9

2) 1 et 12

Posté par
Victor
re : Un petit cube, un gros cube, c est l heure de ....*** 27-10-04 à 19:17

Bonsoir à tous,

encore beaucoup de bonnes réponses pour cette énigme...

1) Effectivement, il n'y avait pas de solutions pour la première question. Strubel avait donc lui aussi raison...
Comme l'ont indiqué titimarion et moor31, il s'agit d'un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles :
pour tout n supérieur ou égal à 3, l'équation :
xn + yn = zn n'a pas de solutions entières avec (x,y,z) différents de (0;0;0).

Donc en, particulier 123 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux cubes.

2) On dit que 1728=123 est un nombre presque Fermat.
En effet, si on ajoute 1 à 1728, on peut alors l'écrire comme la somme de deux cubes et comme l'a indiqué J-P, 1729 le plus petit nombre qui s'écrit de deux manières différentes comme la somme de deux cubes.
123+13 = 103+93.
Le nombre suivant ayant cette propriété est 4 104.
93+153=23+163=4 104.

A propos de ce nombre 1729, il existe une anecdote rapportée par le mathématicien Hardy à propos du génial mathématicien Ramanujan :
"Sa façon [il s'agit de Ramanujan] de retenir les particularités des nombres était presque inquiétante. Chaque entier positif, disait même Littlewood, était pour lui comme un ami personnel. Je me souviens que, lorsque j'étais allé le voir sur son lit d'hôpital à Putney,j'avais pris le taxi n°1729. En arrivant, je lui fis remarquer que ce nombre me semblait assez banal, et que j'espérais que ce ne fut pas un mauvais présage. "Non, me répondit-il, c'est un nombre très
intéressant ; c'est le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux cubes."
La suite de l'anecdote diffère suivant les versions, l'une d'entre elles est la suivante :
Hardy demanda alors à Ramanujan s'il connaissait la réponse au problème pour les puissances quatrièmes. Ramanujan réfléchit un moment et répondit qu'il ne savait pas mais que la solution devait être très grande.
En effet, la solution est la suivante :
635 318 657 = 594+1584=1334+1344

Sur cette note culturelle, je vous souhaite une bonne soirée.
Encore bravo à tous ceux qui ont trouvé la bonne réponse...

@+

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