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Soit f définie par f(x)=0 si et f(x)=1 si . Ce n'est certainement pas une fonction décroissante... Néanmoins f o f et f o f o f sont toutes deux constantes de valeur 0, donc l'une est décroissante et l'autre croissante!

Pour l'instant je n'ai pas plus convaincant comme exemple, mais je ne crois pas que ce soit vrai même si on impose des "strictement"

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Bravo camelia pour le contre exemple, je n'avais pas remis l'énoncé en question.

Avec les strictement, tout passe par contre.

On suppose seulement fof strictement croissant
Si x>=y.
Si jamais on a f(x)>f(y), alors fofof(x)>fofof(y) par croissance stricte de fof.
Ce qui contredit le fait fofof décroissante.
Donc f(x)<=f(y).
f est décroissante.

f est même strictement décroissant dans ce cas : si f(x)=f(y). fof (x)=fof(y) et donc x=y.