Je ne pense pas qu'une fonction peut être continue sur un ensemble où elle n'est même pas définie!
Maintenant, si la question n'était pas "trouver le piège" mais plutôt "est-elle prolongeable par continuité" ou encore s'il y a un g(0,0) caché quelque part, j'aimerais bien y jeter un deuxième coup d'oeil.

*Pardon, c'est "qu'une fonction puisse être..."

Bonjour

> RickyDadj

Penser que. Après une principale interrogative ou négative, on rencontre l'indicatif ou le subjonctif suivant que celui qui parle est incertain ou sûr de sa réponse.(Nyrop)
(Difficultés du français, les usuels du Robert)

_{Il est rigolo ce chiasme}

J'ai l'impression que ton premier jet reflétait bien ta pensée.

Bonsoir Littleguy.
Dans la phrase de Nyrop, ne faut-il pas intervertir incertain et sûr; l'indicatif étant le mode de la certitude neutre, l'indicatif étant le mode du doute, du désir ou de la crainte.
Avec les tournures comme 'suivant que', 'selon que', 'respectivement', les seconds termes doivent se présenter dans le même ordre que les premiers termes.

Bonsoir.
Si deux fonctions sont continues, les fonctions qui en sont la somme, le produit, l'élévation autorisée à une puissance, le quotient autorisé sont elles-mêmes continues. Par étapes, on peut constater finalement la continuité de g(x,y), sauf au point (0;0).

Bonjour plumemeteore.

C'est pour cette raison que j'ai parlé d'une espèce de chiasme curieux à propos de cette phrase.

salut

on peut remarquer que g(x,y) = g(y,x)

de plus g(x,0) (= g(y,0)) = 0 avec x (resp. y) non nul ...donc la limite ne peut être que 0 .... pour assurer la continuité de f ....

mais je n'arrive pas à trouver un chemin qui mène à 0 et qui ne mène pas à 0 .....

Bonsoir

Reste à étudier un éventuel prolongement par continuité en (0,0).
On voit facilement que quand (x,y) tend vers (0,0) en restant sur la droite y=kx, g(x,y) tend vers 0.
Mais cela ne prouve pas que g(x,y) tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0).
En posant norme(x,y)= , il faudrait montrer que, pour imposé, il existe tel que implique |g(x,y)|.
Peut-être passer en polaires.

c'est pourquoi j'essaie de trouver un chemin t --> (x(t),y(t)) plus compliqué que le (classique) y = tx pour tendre vers 0  sans que g(x(t),y(t)) ne le fasse ...

oui peut-être en polaires ....

désolé d'avoir oublié le  g(0,0)= 0  qui ne vous a pas échappé. !  Cet exercice a été posé par hasard alors que je cherchais un exo qui sortait un peu de l'ordinaire

(je déteste à peu près autant le passage en polaire que les règles de D'Alembert -Cauchy des séries , là ça ne marche pas )


ps: pour les étudiants j'ai évidemment ajouté des indications que vous n'avez pas.

je n'arrive pas à borner uniformément ...

par symétrie on peut se restreindre au quadrant x > 0 et y > 0 .... pour alléger l'écriture ...

ok  oui .

Bonjour,

Si on s'y prend bien la continuité en (0,0) est très rapide à démontrer.
On peut d'ailleurs généraliser à des exposants :
est continue en (0,0) dès que .

Ah j'attendais une réponse comme celle là ....sauf que ma solution est longue donc je serais content d'en avoir une plus courte (c'est aussi pour ça que j'ai posé l'exercice d'ailleurs)

plus intéressant encore si il n'y a pas d'utilisation de IAG qui demanderait du hors programme (vu la faiblesse des programmes...)

Bonjour lolo271 et merci pour cet exercice intéressant.
Pour ma généralisation c'est même:
g est continue en (0,0) si et seulement si .
Voici ma solution:

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Supposons (c'est vérifié par l'exercice initial pour ).
Première astuce: puisque et on a .
Deuxième astuce: posons et .
où .
Comme tend vers 0 entraîne tend vers 0 on en déduit que tend vers 0 (puisque ).
Pour on a la même majoration (en échangeant et ) donc finalement tend bien vers 0 quand tend vers 0.

Supposons maintenant . On a par exemple .
puisque entraîne .
Comme tend vers ou on en déduit que n'a pas pour limite 0 en 0: n'est pas continue en 0.

  jandri et merci encore.

Il y a une coquille dans mon corrigé pour la deuxième inégalité.
C'est à la place de .

Je n'ai pas beaucoup de mérite à résoudre cet exercice car je propose à mes élèves un exercice voisin.
Etudier la continuité en de pour et , avec strictement positifs.

Ben si !  Comme je disais précédemment j'ai posé l'exercice un peu par hasard et un de mes collègues est venu me voir en me disant qu'il ne savait pas le faire
(l' astuce classique de majorer  xy  par la demi somme des carrés ne fonctionnant pas, le polaire non plus).
j'ai donc réfléchi et trouvé une solution ....longue ....qui consistait à couper le domaine  0<x<y par des paraboles ou courbes y ressemblant.

Bref il y a 2 ingrédients pas évident dans ta preuve :  la majoration x < x +y  qui semble à priori brutale  ET le fait de séparer les deux fonctions, le reste est effectivement très classique.

ps : je suppose que tu as réfléchis à la différentiabilité ?

>lolo271
1)Pourquoi détestes-tu d'Alembert pour les séries? Pédagogiquement, c'est un critère qui permet de déblayer le terrain et de se faire, quand il rate,  une première idée de la finesse de l'exercice.
2) Pour Cauchy (qui heureusement disparaît des programmes) je suis d'accord avec toi. C'est un bourrage de crâne qui n'apporte pas grand'chose par rapport à d'Alembert.
3) Pour le passage en polaires, je ne suis pas d'accord avec toi. Vu la multiplication des exercices où la fonction pose problème en (0,0), il faut bien donner plus ou moins une recette aux élèves. Celle-là n'est pas mauvaise puisque rho, choisi positif , est la norme (euclidienne) de(x,y).
Penses-tu qu'il soit pédagogiquement plus intéressant d'enseigner aux élèves les deux astuces de Jandri qui permettent de résoudre cet exercice délicat plutôt que de leur faire voir une méthode générale?

Bonjour rogerd,

1) D'Alembert : non l'idée est de faire "sentir" la convergence aux étudiants plutôt que d'appliquer une recette de cuisine qu'ils ne comprennent pas,
il y a de plus en plus d'étudiants qui ne savent QU' "appliquer " des recettes et ne comprennent absolument rien.
Les exercices qui se traitent par d'Alembert sont des exercices fabriqués qui n'apportent pas grand chose.
Et pire ils croient que c'est la méthode,  bref tu leur met un exo avec des séries à trous et ils t'appliquent d'Alembert sans réfléchir.
D'ailleurs pour eux toute suite converge u(n+1)/u(n) n'échappe pas à cette règle.
Bref si je choisissais je n'en parlerai même pas.

3) Non là encore c'est "exo pour examen" sans réfléchir, du coup je donnes souvent des fonctions en 4 variables, histoire que tu ne me répondes pas
qu'on va passer en sphérique.

Oui je préfère les majorations de jandri, pour majorer on essaye de sentir ce qui est le plus grand et on travaille, les maths c'est pas des recettes.

Bonjour lolo271,

d'accord avec toi sur l'idée d'essayer d'extirper de l'esprit des élèves la notion de "recette".

Je pense néanmoins qu'il ne faut pas couper la parole à un élève qui propose d'Alembert, ni le saquer a priori. Il me semble qu'il vaut mieux le laisser patauger un peu et en profiter pour corriger les fautes telles que celles que tu signales et pour lui faire sentir que la méthode est ici trop grossière.

De toute façon, je préfère l'élève qui propose d'Alembert à celui qui reste planté comme une bûche.

Même philosophie en ce qui concerne le passage en polaires.

Par ailleurs , dans ma carrière, je n'ai pas eu beaucoup d'élèves avec lesquels j'aurais pu entrer de plein pied dans les majorations de jandri.

oui ça on est bien d'accord, cela dit ceux que j'ai depuis 2 ans en deuxième année , quand j'ai indiqué dans ma fiche d'exo "on ne passera pas en polaires" sont venus me demander "Mr c'est quoi les polaires ? "

MDR ...


malheureusement faire réfléchir des élèves au lycée devient de plus en plus un challenge .... et je ne pense pas que ce nouveau programme améliore les choses ...

cela ne peut donc que continuer dans le supérieur malheureusement ....


pour la philosophie ::

je dirais qu'on a une boite à outils et que l'objectif est de sortir l'outil approprié pour résoudre un pb ...
la réflexion est le choix de cet outil ...

un équivalent au niveau lycée :: tous (je dis bien tous mais bon si vous chipotez alors je dirais 99,99% ) des élèves qui découvrent le discriminant l'utilise pour toutes équations du second degré que b ou c soit nul ou non

on voit même des élèves développer 3(x - 2)² pour calculer le discriminant et retrouver 2 !!!

la réflexion ne peut exister sans savoirs et ce sont ces savoirs (ces outils) qui permettent de s'adapter ....

sans savoir (et encore moins la compréhension) on ne peut travailler que comme une machine ...

Bonjour carpediem

J'en ai même vu qui l'utilisaient pour x² = 0.

hello littleguy  ::

x⁵= 0  : irrésoluble d'après Galois