Bonjour

Et merci pour l'exercice

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Par les angles je trouve BD = 4.5833

Bonjour Gloubi,
Merci pour mes petites cellules grises...

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J'ai trouvé 4. (mais avec Cabri)
_{Je me lance dans la recherche (homothétie,birapport,Héron,axe radical???)}

Bonsoir Gloubi

Ça fait bien cogiter ... Je propose  

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BD = 110/24

Bonjour Gloubi.

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Dans un triangle, la tangente menée du sommet au cercle inscrit est égale au demi-périmètre moins le côté opposé.
Soient BD = x et AD = t.
Dans le triangle ABD, DE = (11+x+t)/2 - 11 = x/2 + t/2 - 5,5.
Dans le triangle ACD, DE = (13+10-x+t)/2 - 13 = -x/2 + t/2 -1,5.
La différence de ses deux expressions égales est zéro :
x-4 = 0; x = 4.
NB : le triangle ABC devrait être acutangle.

Bonjour Gloubi

Comme j'adore la géométrie voici ma solution

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Bonjour Gloubi,

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Jolie démonstration de Geo3.
Je confirme la valeur 4.

_{Une remarque:
toute bissectrice intérieur d'un tr est un axe de symétrie du cercle inscrit au tr et des 2 côtés de l'angle,
les tangentes d'un point extérieur à un cercle ont la même longueur.}

On peut aussi , et c'est mon cas , préférer celle de Plumeteore ( je l'aurais formuler un peu différemment )

Imod

Bonjour à tous.

Et caylus, plumemeteore et geo3 !

Ma solution:

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Ajoutons les points de tangence P, Q, R, S.



Par géométrie élémentaire , nous avons:
x = AP = AE = AS
y = BP = BQ
z = DQ = DE = DR
t = CR = CS

Avec:
x+y = AB = 11
x+t = AC = 13
y+2z+t = BC = 10

Nous cherchons BD = y+z
Or BC+AB-AC = (y+2z+w)+(x+y)-(x+w) = 2y+2z
Donc BD = y+z = (BC+AB-AC)/2 = (10+11-13)/2 = 4.

plumemeteore >>

Citation :
le triangle ABC devrait être acutangle.

Effectivement, avec des côtés de 11, 13 et 10. Bien vu.

Merci Gloubi pour ce problème intéressant.

J'ai remarqué une propriété supplémentaire (que je ne connaissais pas).
Le point D est le point de contact avec le côté BC du cercle inscrit dans ABC.

Bonjour jandri,

Pas convaincu par ta remarque.



J'ai d'abord tracé le cercle inscrit dans la grand triangle.
Les deux inscrits dans les petits triangles ne sont pas tangents.

En effet:



@+

Voici ce que Jandri a découvert:

Au temps pour moi, jandri.

J'avais lu trop vite.  
Pour moi, c'était "le segment AD passe par le centre du cercle inscrit".
_{la fatigue, déjà, à 16:46}

A Elisabeth67

Je me suis permis (après avoir répondu) de regarder les solutions.
Il se trouve que nous avons la même par deux methodes différentes
soit 4.5833 ou 110/24 ,il faudrait donc vérifier car je ne suis
pas convaincu par les autres résultats

Bonjour à tous,

je conseille à tous de regarder la démonstration de Geo3: elle est sans faille.
Félicitations à Geo3.

A bientôt

Merci

Tout a fait exact.
je pense que notre erreur vient d'avoir vu
AB bissectrice

Bonjour à tous

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On peut aussi résoudre en appliquant des Pythagore successifs:

En notant O_1 et O_2 les centres des cercles circonscrits resp. dans ABD et ADC, et P,Q les projetés de O_1 sur [AB] et [BD] resp.; R,S les projetés de O_2 sur [DC] et [AC] resp.(cf image), alors:


x=PB=BQ,
y=QD=ED=DR
z=RC=CS,
et t=AP=AE=AS,

alors le système à résoudre est :

x+2y+z=10
x+t=11
t+z=13, soit t=13-z, x=11-t=z-2, et y=1/2(10-z-x)=6-z,
soit BD=x+z=4.

Merci pour le défi

Bonjour
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