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||x|-|y||=|x+y|
<=>|x|²+|y|²-2|xy|=x²+y²+2xy
<=>x²+y²-2|xy|=x²+y²+2xy
<=>-2|xy|=2xy
<=>|xy|=-xy

Or
||x|+|y||=|x-y|
<=>|x|²+|y|²+2|xy|=x²+y²-2xy
<=>x²+y²+2|xy|=x²+y²-2xy
<=>2|xy|=-2xy
<=>|xy|=-xy

D'où léqivalence ||x|-|y||=|x+y|<=>||x|+|y||=|x-y|

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Si on a la partie gauche comme ca c'est que x>0 et y<0 car on a enlevé les valeurs absolues de x et de y ! Donc je fais pareil à droite avec aussi |x|=x et|y|=-y et j'ai ||x|+|y|| = |x-y|

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La première égalité concerne les nombres de signes différents, ou dont l'un est nul.
La deuxième égalité n'est possible que si les nombres sont de signes différents ou si l'un est nul, et alors elle se vérifie toujours.
Les deux propositions sont donc équivalentes à : xy 0.

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et si xy>0 ?

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||x|+|y||=|x-y| |x|+|y|=|x-y| |x|-|y|=|x+y| ||x|-|y||=|x+y|


pour visualiser on peut considérer 2 points M et N d'abscisses respectives x et y sur un axe et les deux egalités imposent que l'origine est entre M et N donc que x et y n'ont pas même signe

.... et remarquer que, si par ex y<0 alors x+y=x-(-y) et considérer le symétrique de n par rapport à O