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et sont continues sur , donc bornées

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Il me semble que c'est une version "light" du lemme de Lebesgue.
Soient un majorant de et un majorant de
Alors donc

quand tend vers l'infini.

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IPP

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Après avec ton indice, on sait que la fonction et sa dérivée sont bornées donc je ne devrais pas utiliser ça je sais mais bon je sais pas comment le montrer autrement,

et

De même et

Donc on a

Soit

Comme les et sont bornées ça l'est également avec

Donc et



Donc d'après le théorême des gendarmes

Voilà Voilà merci Et pour les sup et inf j'éspère que c'est pas trop faux .. il fallait peut-être mettre max et min?

Je me doute que si tu me l'as proposé c'est qu'il y a plus simple mais c'est juste quand même ou pas trop du tout ? ^^

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Posons et .
Divisons l'intervalle [a;b] en segments noté tel que soit de même signe ().
Notons , le maximum de sur le segment et le minimum de sur ce même segment.

Ainsi, on a l'encadrement si .
ou bien si .

Or il existe un tel que de même il existe un tel que et .
ainsi lorsque tend vers l'infini tend vers .
Or est continue sur d'où tend vers .

De même, il existe un tel que M_k=f(v) de même il existe un tel que et .
ainsi lorsque tend vers l'infini tend vers .
Or est continue sur d'où tend vers .

Ainsi, si pair, .

Et si impair, lorsque n tend vers l'infini termes des sommes tendent vers , on a donc , avec et .

D'où .