Niveau énigmes

Un premier particulier

Posté par
dpi 22-10-25 à 10:35

Bonjour à tous,
Je donne un tableau donnant le nombre np et le pourcentage de premiers sur n.
Il existe donc un premier tel que son nombre est environ *10 fois plus grand que le nombre de son ordre dans la liste des premiers.
Quel est ce premier c'est à dire celui qui sera le plus proche .
Un premier particulier

Posté par re : Un premier particulier 22-10-25 à 13:51

salut

dpi @ 22-10-2025 à 10:35

Je donne un tableau donnant le nombre np et le pourcentage de premiers sur n.
Il existe donc un premier tel que son nombre est environ *10 fois plus grand que le nombre de son ordre dans la liste des premiers.

désolé j'ai rien comprendu !!

pourrais-tu nous donner un exemple concret ?

Posté par re : Un premier particulier 22-10-25 à 14:05

Je n'ai rien comprendu non plus.

Posté par re : Un premier particulier 22-10-25 à 14:59

Pareil

Posté par re : Un premier particulier 22-10-25 à 15:08

Je vais donc explicationner
Tout d'abord ,j'ai posté pour alimenter l'esprit "détente "qui faiblit un  peu...donc c'est un peu capillotracté.
Donc je vais donner deux contre-exemples:
1223 est le  200 ème premier--->  1223/200= 6.115  donc <10
746 773 est le 60 000 ème  premier--->746 773/60 000=12.446 donc>10.

Posté par re : Un premier particulier 22-10-25 à 16:42

ok !! alors reprenons mathématiquement :

voir :

En mathématiques, la fonction de compte (ou comptage) des nombres premiers est la fonction donnant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée π(x) (à ne pas confondre avec la constante π).

tu cherche donc à résoudre l'équation $\pi (x) \approx 10x$ avec $x \in \mathbb P$ (ensemble des nombres premiers)

... heu ... en fait non !!

si $p_n$ est le n-ième nombre premier tu cherches le minimum de $\left| \dfrac {p_n} n - 10 \right|$ ou plus simplement de $|p_n - 10n|$ ...

honnêtement c'est un pb typiquement algorithmique dont un script est le suivant (où P désigne la liste des premiers)

m, r = 100, 0
for p in P :
   a = abs(p - 10 * (P.index(p) + 1))  ## + 1 car les listes sont indicées à partir de 0
   if a < m :
      r, m = p, a
print r, m

ce code renvoie le premier et le minimum de $|p_n - 10 n|$ ... pour peu que ce code s'arrête !!!

Posté par re : Un premier particulier 23-10-25 à 08:47

Merci carpediem pour ton résumé sur la raréfaction des premiers
Le petit tableau que je donne en introduction est significatif,
pour mémoire pour n=10^20 le % est 2.22%.

10 % se situe entre10^4 et 10^5
reste à retrouver la liste donnée par jamo il y a une dizaibe d'années.