Le message précédent était introduit par un bonjour et une formule de politesse qui se sont malencontreusement envolés

Toutes mes excuses

A=S , je n'aurais pas dû poster vu mes problèmes de connexion

Imod

Bonsoir Imod (ou Lmod).
Soit n le nombre (inconnu) d'héritiers.
Soit p la part de chacun.
Le dernier héritier prend na + f*(p-na).
p = na + f*f(-na
Soit r la somme restante après que l'avant-dernier héritier a pris a*(n-1).
r-fr = p; r(1-f) = p; r = p/(1-f)

Bonsoir Imod,

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il y a 9 héritiers, l'héritage se monte à 8100 €
la part de chacun est de 900 €

le 1er    prends 100+8000/10 reste 7200 €
le 2ème prends 200+7000/10 reste 6300 €
le 3ème prends 300+6000/10 reste 5400 €
le 4ème prends 400+5000/10 reste 4500 €
le 5ème prends 500+4000/10 reste 3600 €
le 6ème prends 600+3000/10 reste 2700 €
le 7ème prends 700+2000/10 reste 1800 €
le 8ème prends 800+1000/10 reste   900 €
le 9ème prends 900

Je recommence.

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On connaît la fraction f et a qui multiplié donne le premier prélèvement de chacun.
Soit n le nombre (inconnu) d'héritiers.
Quand le dernier héritier a pris na, il n'y a plus de reste; autrement, il ne préleverait qu'une partie de ce reste et le partage ne serait pas terminé.
Le deuxième prélèvement de l'avant-dernier héritier est à na ce que f est à 1-f.
Ce deuxième prélèvement est f*n*a /(1-f).
Le premier prélèvement de l'avant-dernier héritier est a*(n-1).
Son deuxième prélèvement est donc an - a*(n-1) = a.
a = f*n*a / (1-f).
n = (1-f)/f.
La part de chacun est a*(1-f)/f.
L'héritage entier est a * [(1-f)/f]².

explications

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soit x le montant de l'héritage





les deux parts sont égales

Bonjour à tous

>>Daniel62

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Tout à fait

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Attention deux héritiers seulement ( pas forcément les deux derniers )sont supposés avoir la même part . La question est en fait : "Peut-on être assuré alors que le partage est équitable et que chacun récupère H/n ?"

le raisonnement est de dire que le dernier frère aura un reste nul donc que sa part est un sous-multiple de l'héritage ceci nous rassure sur les décimales...

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Je trouve 9 frères avec chacun 900 euros et un héritage de 8100 euros

Oui dpi , c'est une façon de faire parmi plein d'autres

Je rappelle le deuxième problème un peu plus ardu :

Des frères se partagent un héritage H . Le premier prend une somme S puis une fraction F ( 0 < F < 1 ) du reste , le deuxième 2S et F du nouveau reste , le troisième 3S et F du nouveau reste , ... Sachant que l'héritage est ainsi complètement distribué et qu'il y a deux héritiers qui touchent la même part , peut-on exprimer à coup sûr la part de chacun uniquement à l'aide de H et n ?

Imod

Le premier problème ( avec F = 10% ) est un célèbre problème de Nicolas Chuquet ( 15ème siècle ) , le deuxième est involontairement de moi car je n'avais pas entendu le bon problème quand on m'a soumis le premier

La solution que j'ai trouvée est très courte et sans calculs monstrueux

Imod  

Un indice caché pour ceux qui sèchent malgré la pluie

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En notant la part du kième héritier ( qui n'est pas le dernier ) :

EDIT: dans mon dernier cache : H=S

C'est quand même assez pénible de ne pas pouvoir éditer les fautes de frappe ou d'inattention

Imod

Salut Imod

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Je séchais avec une expression différente

En prenant la notation N(k) la part du kième, et appelant N la somme initiale :

N(k) = F.N.(1-F)^(k-1) + (1-F).S.u(k) avec

u(1) = 1
u(n+1) = 1 + (1-F).u(n)

Ne la clos pas tout de suite : s'il pleut encore, je vais tenter de sécher encore un petit peu...

bonjour,

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je viens de regarder en vitesse
je note H₀ la somme initiale
aprés que le premier ait pris sa part il reste H₁=(H₀-S)(1-F)...
quand le nième a pris sa part il restesauf étourderie de ma part
et ensuite?
je viens de jeter un oeil à ton indice cela a l'air mieux car tu as une suite arthmético-géométrique,
je m'y remets ce soir

Salut Imod et veleda

>>Imod

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En triturant mon expression, je suis parvenu à la relation de récurrence N(k+1)=(1-F)(S+N(k))

Exprimons N(k) en fonction de N(p) avec p<k

je te passe les intermédiaires, je trouve :

N(k) = (1-F)^(k-p).N(p) + S(1-F)( 1 + (1-F) + (1-F)²... + (1-F)^(k-p+1) )

N(k) = (1-F)^(k-p).N(p) + S(1-F)(1-(1-F)^(k-p))/F

posons alors N(k)=N(p)=A

A = A.(1-F)^(k-p) + S.(1-F)(1-(1-F)^(k-p))/F

A( 1 -(1-F)^(k-p) ) = S.(1-F)(1-(1-F)^(k-p))/F

A = S(1-F)/F

(il y a peut-être une méthode plus rapide pour aboutir à cette relation)

en remplaçant dans la relation de récurrence :

N(k+1) = AF+(1-F)N(k)

si N(k) vaut A alors tous les N(k+i) valent A : donc on peut montrer que si deux parts sont égales à A, elles sont TOUTES égales à A donc A = N/n

la somme S est définie par A = S(1-F)/F = N/n => S = (N/n)(F/(1-F))

Ce développement, hormis le fait que je n'en suis pas certain, manque de précision et d'analyses aux bornes (cas des sommes des k-1 premiers frères, par exemple); par ailleurs, je ne sais pas si n peut être arbitraire...

Bref, ça mériterait d'y passer plus de temps mais voilà...il ne pleut plus !

Dis-moi quand même si je fais fausse route

Oui Rudy , c'est une façon de faire

Ce que j'avais fait( avec un peu moins de calculs )

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Je reprends mes notations :

: L'héritage .
: La partie fixe cumulée à chaque fois .
: La fraction
: la part du kième héritier .

La relation annoncée peut se démontrer directement sans récurrence :






De cette relation on déduit que

En effet

Mais si alors

Ce qui veut dire que croît à partir de et jusqu'à . On peut bien sûr retourner les relations précédentes ce qui entraîne que est strictement monotone ou constante . En conséquence si la suite prend deux fois la même valeur elle est constante et c'est fini chaque héritier touche H/n .

bonsoir,
Imod

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je crois que c'est en utilisant la methode de ton indice que les calculs sont les plus courts

donc la suite (u) est monotone et si deux termes sont égaux elle est donc constante
en effet
*si l'on sait que les termes égaux sont consécutifs toutes les différences entre deux termes consécutifs quelconques seront nulles
**si l'on ne sait pas qu'ils sont consécutifs comme la suite est monotone tous les termes compris entre eux leurs sont  égaux et l'on est ramené au cas précédent
la part de chaque héritier est donc
merci pour ce problème

>>veleda

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En effet donc est strictement monotone ou constante , ça revient à ce que j'ai dit mais c'est encore plus court et plus élégant

Imod

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mon idée de calculer ce qui reste à chaque fois pour écrire que le dernier reste est nul ne m'a menée nulle part mais je chercherai encore

Bonjour

jolie démo, veleda

Cette énigme aurait fait une belle énigme officielle, Imod

Rudy

Pas sûr Rudy .

Dans les énigmes officielles la difficulté est de trouver la réponse pas de la justifier . Ici la réponse est plutôt immédiate

Imod

C'est vrai Imod

mais on peut toujours, pour un problème donné, s'arranger pour poser les bonnes questions qui nécessitent une recherche plus poussée

Rudy