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Un produit dans R^3
Bonjour,
Je propose la définition dans R3 du produit suivant:
ce produit est commutatif et possède un élément neutre {1,0,0}
La question que je pose est:l'inverse de {a,b,c} est-il unique?
Merci de vos réponses,
Alain
salut
il doit y avoir une erreur car (1, 0, 0) est un neutre et un inverse ... 
étonnant d'autant plus que ce produit est affirmé commutatif ...
sinon c'est intéressant alors ...
Oups, en fait j'ai l'impression que (1,1,1) n'a pas d'inverse 
(1 ,1 ,1) * (a', b' , c') = (a'+b'+c', a'+b'+c', a'+b'+c') .
Bonjour,
Merci de votre intéret.
A Carpediem:la construction du produit montre qu'il est commutatif.
Dans mon énoncé j'ai oublié de préciser - pour les inverses -
sur
Alain
Bonjour,
L'intérêt quand on défini une opération algébrique c'est de déterminer la structure engendrée, ici (R^3, +, *(telle que définie ici)) est un anneau commutatif unitaire de neutre multiplicatif (1,0,0)). Par conséquent, quand un élément a un inverse, il en a un seul. Après on peut chercher les inversibles... il me semble que (a,b,c) est inversible ssi . Donc déjà effectivement les (lambda,lambda,lambda) ne sont pas inversibles. De toute façon on ne peut pas trouver de produit qui soit partout inversible et qui fasse de R^3 une R-algèbre.
Bonsoir,
" Déterminer une structure algébrique"sur l'ensemble que j'ai défini:c'est exactement mon intention;
je ne vois pas pourquoi il n'existerait pas d'inverses pour (a,b,c) avec la condition
que je donne.
Qu'est-ce qui t'amène à limiter de cette manière les inverses?
Amicalement,
Alain
Bah par exemple (0,1,-1) n'a pas d'inverse, c'est même un diviseur de (0,0,0) : (1,1,1)*(0,1,-1) = (0,0,0). En fait soit a^3+b^3+c^3-3abc est nul et dans ce cas (a,b,c) divise (0,0,0) soit (a,b,c) est inversible.
Bonjour,
Dès mon second mail ,j'ai écarté - pour les produits - les triplets
Aurais-tu d'autres exemples?
Alain
Bah oui mais le problème c'est que tu ne lis pas mes messages car j'ai donné deux fois l'ensemble des non-inversibles et donné un exemple dans mon précédent message qui ne fait que deux lignes donc à part ne pas lire c'est dur de le louper. Je n'ai vraiment pas envie de me répéter encore une fois, fais l'effort de lire les messages en entier et de demander si tu ne comprends pas ou de préciser ce que tu veux exactement car j'ai déjà répondu à la question initiale et même davantage.
Bonsoir,
Désolé,j'ai lu tes messages mais je ne comprends pas ta réponse.
D'une manière générale est-il démontré qu'il n'existe pas de corps sur ?
Alain
Bonsoir,
Bah si on a une R-algèbre (K,+,·,x) intègre (en particulier si (K,+,x) est un corps) de dimension finie >= 2 on peut :
- montrer que tout élément est inversible (dans notre cas ça ne marche pas car R^3 muni de ce produit n'est pas intègre),
- montrer que pour tout élément a de K non réel, (1,a) est libre tandis que (1,a,a²) est liée,
- montrer que il existe i dans K tel que i² = -1,
- montrer que si en plus le produit est commutatif, K est isomorphe à C (donc K ne peut être R^3 muni de la structure de R-algèbre usuelle).
Bonjour,
A nouveau un peu plus disponible, je reviens sur ce sujet que je trouve intéressant.
J'ai cherché à clarifier ceci :
a^3+b^3+c^3-3abc est nul et dans ce cas (a,b,c) divise (0,0,0)
La loi est commutative, associative (pas évident) et admet un élément neutre (1,0,0) .
On peut noter e = (1,0,0) et 0 = (0,0,0) .
Avec l'associativité, on peut démontrer que si x divise 0 alors x n'est pas inversible :
Si x est inversible et x*y = 0 alors y = x-1 * x*y = x-1 * 0 = 0 .
Soit D = a3+b3+c3-3abc .
(a,b,c) admet un unique inverse si et seulement si D
0 .
Or D = (a+b+c) ( (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 ) / 2
D'où D = 0
a+b+c = 0 ou a=b=c .
Si a+b+c = 0 alors (a,b,c)*(1,1,1) = (0,0,0) .
Si a=b=c alors (a,a,a)*(1,-1,0) = (0,0,0) .
D'où :
Soit D
0 et (a,b,c) admet un unique inverse.
Soit D = 0 et (a,b,c) n'admet pas d'inverse.
Conclusion : (a,b,c) n'a jamais plus d'un inverse.
Cela dit, en utilisant la distributivité de * sur + , on peut se passer de D .
Si xy = xz avec y
z alors x(y-z) = 0 ; donc x n'est pas inversible.
D'où l'impossibilité de plus d'un inverse.
Bon dimanche et bonne fête,
Merci de l'attention que tu portes à ce que je propose;au moins je comprends
ce dont il retourne.
Chaque énoncé par moi proposé est travaillé. . .
Alain
Bon dimanche et bonne fête,
Merci de l'attention que tu portes à ce que je propose;au moins je comprends
ce dont il retourne.
Chaque énoncé par moi proposé est travaillé. . .
Alain
que la force soit avec toi ...
Sylvieg : le fait que la loi est associative et commutative suffit pour prouver que l'inverse est unique lorsqu'il existe ... comme pour une loi quelconque ...
si xy = 1 = xz alors
(xy)z = z et (xy)z = x(yz) = x(zy) = (xz)y = y donc y = z
il n'est donc pas nécessaire de passer par les propriétés de + et * ...
Bon après-midi,
En proposant ce produit je souhaitais obtenir une structure 'intéressante"
sur R^3-
{1,1,1} ,
Alain
Bonsoir à tous les deux 
D'accord carpediem, inutile de faire compliqué quand on peut faire simple...
interpol, il faudrait aussi enlever les triplets (a,b,c) qui vérifient a+b+c = 0 ?
en fait on peut aussi le faire sans même la commutativité (comme avec les matrices) mais uniquement avec l'associativité :
supposons que x possède un inverse y à gauche et un inverse z à droite ;
alors yx = xz = 1
et y = y1 = y(xz) = (yx)z = 1z = z
donc x possède un même inverse à gauche et à droite
soit y un inverse à gauche de x
alors yx = 1
et x = x1 = x(yx) = (xy)x donc xy = 1 et y est un inverse à droite
donc un inverse est inverse à gauche et à droite
supposons que x possède deux inverses à gauche y et z (et donc à droite d'après ce qui précède) :
alors yx = zx = 1
et y = 1y = (zx)y = z(xy) = z(yx) = z1 = z
donc si un élément possède un inverse celui-ci l'est à gauche et à droite et est unique
bonjour
et x = x1 = x(yx) = (xy)x donc xy = 1 et y est un inverse à droite
ce qui est souligné me chagrine un peu...
ça faisait partir des démo de cours qu'on pouvait nous demander en colle, à l'époque, de montrer que quand une loi est associative, s'il y a un inverse à droite et à gauche alors c'est le même, et s'il y a un inverse, alors il n'y en a qu'un.
mais il peut y avoir inverse à droite sans qu'il y ait inverse à gauche, me semble-t-il
oui après m'être relu j'ai tilté sur ce point ... et voulait même retirer ces trois lignes ...
j'attendais un retour pour être certain que j'avais tord sur ces trois lignes ...
merci lafol
Bonjour,
J'espère que vous passez de bonnes fêtes!
Afin de ne pas alourdir l'énoncé je n'ai pas explicité la construction
du produit,je la donne : ,c'est juste un procédé ,l'écriture de
par exemple n'est pas unique.
Alain
Pas encore bien réveillé à cette heure matinale ?
Ecrire le produit z1z2 sous la forme x + y j + z j2 .
L'élément neutre et l'associativité s'en déduisent immédiatement
Bonjour,
Je fais le produit ,je remplace j3 par 1 ,j4 par j et je range les termes
j'extrais le triplet que je nomme produit.
Est-ce plus clair?
Alain
Alain
Bonjour,
I am so sorry , mais mon inculture mathématique ne me permet pas de
gouter tout le suc de tes réponses et encore moins de trouver les failles
éventuelles de tes différentes interventions;pour parler clair si tu pouvais
traduire pour le 'pecus vulgus' que je suis.
Alain
Bonjour,
Désolé mon but n'était pas d'être incompréhensible ni désagréable ni hautain. Simplement je ne connais pas ton niveau en algèbre
Pour cette histoire de :
Lorsqu'on a une K-algèbre A commutative et unitaire (qui contient 1) et un idéal I de cette algèbre (donc un sous-groupe pour l'addition de A stable par multiplication par tout élément de A) on peut définir le quotient (c'est-à-dire l'ensemble des classes de la relation d'équivalence sur A :
).
On munit naturellement ce quotient d'une structure de K-algèbre :
- ,
- ,
- .
Les deux premières opérations sont bien définies car I est un idéal et la troisième car A est unitaire et donc en passant par la multiplication déjà définie. On a prit A commutative pour ne pas s'embêter avec les notions d'idéal à gauche et d'idéal à droite.
Ici on quotiente la R-algèbre par l'idéal engendré par
et le produit induit se comporte comme ton produit car on a bien (en termes de classes).
Ce qui est bien c'est que les quotients d'anneaux de polynômes c'est quelque chose d'assez étudié et connu. Ici par exemple on a quotienté par qui n'est pas irréductible, donc le quotient a forcément des diviseurs de 0 qui sont exactement les éléments de
(union des idéaux engendrés par les classes des deux facteurs irréductibles de
). En plus comme on est en dimension finie on sait que les non-inversibles sont les diviseurs de 0.
Le quotient n'est un corps que si le polynôme par lequel on quotiente est irréductible. Sur R pas trop de choix, si il est de degré 1 on retombe sur R à isomorphisme près, si il est de degré 2 c'est C à isomorphisme près. D'ailleurs on peut définir .
Bonjour,
L'ensemble construit sur possède une struture de groupe pour l'addition '+'
Le même ensemble a t'il une structure de groupe pour le produit ' * ' ?
Alain
ben il suffit de vérifier les propriétés d'un groupe ...
mais as-tu lu ce qu'a dit Schtromphmol ? et tout ce qui a été dit au-dessus ?
Bonjour,
Je cite un des premiers messages de Schtromphmol :
(0,1,-1) n'a pas d'inverse, c'est même un diviseur de (0,0,0) : (1,1,1)*(0,1,-1) = (0,0,0)
Enlever les (a,a,a) ne suffit pas, il faudrait enlever les (a,b,c) qui vérifient a+b+c = 0 .
Voir mon message du 20 à 19h48, avec les détails à 8h48.
Et quid aussi du fait que la loi doit être interne ?
Bonjour,
Pourquoi " enlever les (a,b,c) qui vérifient a+b+c = 0 "
Qu'appelles-tu ici loi interne ? j'en vois deux ' * ' et ' + '
Alain
Pourquoi " enlever les (a,b,c) qui vérifient a+b+c = 0 " : car ils ne sont pas inversibles.
Pour la nième fois :
(0,1,-1) n'a pas d'inverse, c'est même un diviseur de (0,0,0) : (1,1,1)*(0,1,-1) = (0,0,0)
Loi interne dans E : Si x et y sont dans E alors x*y est dans E .
Ta loi * est interne dans
3 ; l'est-elle dans 3 privé de ceci ou cela ?Bonsoir,
J'ai enfin compris :si l'on exclut tous les triplets tels que :
nous réglons la question des inverses mais nous pouvons toujours générer par
l'addition de tels triplets:loi interne.
Merci,
Alain
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