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Un sacré équivalent !

Posté par
gui_tou 05-09-09 à 16:34

Bonjour à tous,

Je vous propose un exercice de mon TD, tel quel (bon c'est quand même une exo de l'ENS, donc il est brut )

Citation :
Soit 3$a un réel strictement positif. On considère la fonction 3$\Phi_n(x)=\Bigsum_{k=1}^n{4$\fr{1}{x-k définie sur 3$]n,+\infty[.
On appelle 3$x_n le réel supérieur à 3$n tel que 3$\Phi_n(x_n)=a.

Donner un équivalent de 3$x_n.


Comme il n'est vraiment pas fastoche, je donne quelques pistes (à lire dans l'ordre)

Piste 1
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Piste 2
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Piste 3
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Voilà, bonne réflexion

Posté par
jandri Correcteurre : Un sacré équivalent ! 05-09-09 à 16:48

Bonjour gui_tou,

C'est un exercice "classique" intéressant qui se résout très simplement si on pense à:

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.

Posté par
gui_toure : Un sacré équivalent ! 05-09-09 à 16:53

Bonjour jandri,

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Posté par
miltonre : Un sacré équivalent ! 13-09-09 à 21:50

salut
je tente cette reponse et je cherche la demo apres
b=\frac{1}{1-e^{-k}}
k dependra de a

Posté par
miltonre : Un sacré équivalent ! 13-09-09 à 22:49

on prend f(x)=\frac{1}{b-x} et on pose \int_0^{1} f(t) dt=a en suite on pose k_n=a-\phi_n(nb)=\phi_n(x_n)-\phi_n(nb) et on en deduit que 0\le(x_n-nb)\le-\frac{nk_n}{n\phi_n'(nb)}. nk_n\frac{1}{2b(b-1)}(a ete demontré sur ce site:n(\int_0^{1} f(t)dt-\frac{1}{n}\Bigsum_{p=0}^{p=n})\frac{f(0)-f(1)}{2}) et n\phi_n'(x_n)\int_0^{1} f^2(t) dt(f'=-f^2) ;on a lors 0\le(\frac{x_n}{bn}-1)\le-\frac{nk_n}{n\phi_n'(nb)}\frac{1}{bn}.

Posté par
miltonre : Un sacré équivalent ! 14-09-09 à 21:35

salut gui-tou
est-ce ça?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Un sacré équivalent ! 19-09-09 à 12:56

Bonjour ;

une idée :

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Posté par
jandri Correcteurre : Un sacré équivalent ! 20-09-09 à 11:19

Bonjour Elhor,

La démonstration que je propose n'est pas très éloignée de la tienne:

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Un sacré équivalent ! 20-09-09 à 12:22

Bonjour Jandri ;

Ah oui ! Ton idée est beaucoup plus élémentaire que la mienne

Posté par
jandri Correcteurre : Un sacré équivalent ! 21-09-09 à 21:52

Bonsoir,

En notant b la limite de \frac{x_n}n on peut compléter l'exercice en demandant de calculer c=\lim (x_n-bn).
Encore plus fort, donner un équivalent de x_n-bn-c.


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