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Un somme ardue!
La question est trés simple, et qui va trouver à la solution je me permet de le nommer un génie de maths,
La question est:
Calculer la somme des chiffres composants du nombre
où le chiffre 1 se répète 2003 fois.
J'aimerai bien voir une méthode rigoureuse en cas de la solution,merci et bonne réflexion.
Cliquez pour affichermikayaou:
Bravo c'est ça mais j'aimerais bien voir ta méthode si c'est possible.
j'ai 2 questions à te demander:comment puis je rendre mes enigmes officielles? ainsi je ne sais pas tjr comment blanker mes reponses,merci!
pour les énigmes, TS, j'ai répondu dans l'autre topic
pour le blanqué, tu as, en bas, une icône ? ( l'info bulle indique blanqué ) qui crée 2 balises entre lesquelles tu mets ton texte...
> veleda tu es tombée dans le piège, regarde ce que donne dix chiffres un : ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )² ?
bonjour Mykayaou
oui je sais,je suis justement entrain d'essayer autrement
j'avais seulement"intuité"
dans l'écriture du carré ,lorsqu'il existe le terme médian ne peut être égal au nombre de chiffres que si celui ci est <10
comme je n'ai pas lu ton blanké je vais continuer à chercher
Bonjour tout le monde.
J'ai "posé" la multiplication, comme on faisait avant l'invention des calculettes.
On a donc 2003 sommes partielles, qui sont toutes égales à une succession de 2003 fois le chiffre 1.
Ensuite on les ajoute en reportant les retenues. On voit apparaître une périodicité des chiffres sur la ligne du résultat. Je pense pouvoir arriver à une description du résultat et de là à la somme de ses chiffres mais cela demandera un certain travail et je n'ai pas bien le temps.
J'essaierai de reprendre ça ce soir.
reste à démontrer que la somme des chiffres composant (1111...N chiffres 1...1111)^2 est donnée par :
Soit la division euclidienne de N par 9 donnant le quotient Q et le reste R ( soit N = 9Q + R )
alors la somme des chiffres de 1111...N chiffres 1...1111² est égale à 81Q + R²
A toi bloom
Bonjour à tous.
Je viens de relire tous les courriers.
Je vois que mikayaou et bloom donnent le même résultat, en partant de la même formule non évidente et qu'ils ne justifient pas.
J'ai donc repris ma méthode de multiplication "à l'ancienne", en ajoutant en colonne les lignes partielles, de droite à gauche, avec retenues. Je vois rapidement apparaître une périodicité des résultats, jusqu'à proximité du chiffre médian, où je me méfie. En continuant à gauche du chiffre médian, je vois vite apparaître à nouveau une périodicité de 9.
Je peux donc donner une description du résultat. En le lisant de gauche à droite:
222 tranches, chacune s'écrivant 123456790, dont la somme est donc 8214.
une tranche intermédiaire écrite 12344321, dont la somme est 20.
222 tranches, chacune écrite 098765432, dont la somme est 9768.
Enfin, tout à droite du nombre, un 1 isolé.
Cela donnerait un total de 18003 et non pas 18007.
L'écart étant assez faible, je pense que le désaccord porte sur la tranche intermédiaire.
Je passe le relais...
salut rogerd
ta tranche intermédiaire ne s'écrit-elle pas 123454320 avec une somme égale à 24 ?
je cherche tes autres erreurs éventuelles...
Merci mikayaou d'avoir repris mes calculs, et bonjour.
Effectivement, la tranche intermédiaire de 8 chiffres est 12345432 avec une somme égale à 24.
Nous sommes donc d'accord pour un total de 18007
bonjour à tous,
j'avais remarqué que le nombre qui s'ecrit avec 91111111111=12345679x9
on en déduit que par exemple le nombre qui s'écrit avec 27 1est égal à 12345679012345679012345679x9 peut être que bloom se sert de cette propriété puisque dans le nombre donné on a 222 tranches de 9 1et en reste une tranche de 51 mais je n'ai pas eu le temps de creuser comme dirait Mikayaou
Est-ce que le dévelopement présenté par rogerd ne justifie pas la formule?
rogerd a identifier deux 'groupements'
1°) 123456790...098765432 dont la somme des chiffres vaut 81.
Ce groupement intervient Q=2003/9 fois
2°) 12...r...2 auquel on peut joindre le 1 terminal.
Ce groupement donne pour somme des ces chiffres =
=
.
La formule est donc bien 81Q+R².
>> Mykayaou c'est de la triche
il y a plein de propriétés intéressantes pour les nombres qui ne s'écrivent qu'avec des 1 mais le temps me manque
Pas tout de suite TM ( bien que d'autres vont peut-être te le donner 
) : je m'inspire de certaines énigmes pour générer des JFF customisées à l'
Je te rassure, y'a pas la justification de N = 81Q+R², ce qui doit expliquer pourquoi bloom ne répond pas 
>> veleda : surtout pour la numérotation en base 2...
By the way, dans le forum 'énigme', qui peux me dire pourquoi la petite icône qui précède les énigmes tantôt clignote, tantôt non ?
oui TM
enigme
si T_P pouvait mettre à jour le mode d'emploi des énigmes avec cette info...merci
Bonjour à tous.
L'intérêt de la formule que vous avez trouvée, non justifiée, sur le net, est qu'elle doit sans doute se généraliser.
Si on élève au carré un nombre comportant plus de 2003 fois le chiffre 1, on retrouvera, sur la droite, les mêmes chiffres que dans l'exercice qu'on a traité.
Sur la gauche, on aura sans doute aussi quelque chose de ressemblant.
Il faudra regarder l'évolution de la tranche intermédiaire.
On pourrait commencer en remplaçant 2003 par 2004.
Y-a-t-il un courageux pour s'y attaquer?
je ne te saisis pas, rogerd -bonjour-
c'est généralisé : la somme des chiffres de 1111...2004 chiffres 1...1111² est égale à 81(Ent(2004/9)) + (2004-9*Ent(2004/9))² = 81*222 + 6² = 18018
Bonjour mikayaou
Tu considères donc que la formule générale invoquée par bloom est démontrée?
J'avais cru comprendre le contraire; je pensais que le découpage du résultat en trois tranches restait à étudier et exploiter.
C'est pour cela que je proposais de regarder d'abord avec 2004. En fait, on peut peut-être s'attaquer directement au cas général.
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