Bonjour à tous,
Un petit problème d'arithmétique que j'ai vu récemment :
Pour quels ,
est-il un carré parfait ?
Bonne recherches
Bonjour. Je propose:
, équation du 2nd degré en n, de discriminant
Pour avoir des solutions, il faut nécessairement avoir un carré.
On pose . On aura alors
Il faut donc résoudre , ou (
)
J'ai appris que c'était une équation de Pell-Fermat.
Mais le wikipedia m'est bien obscur. Si toutefois c'est le bon début, des volontaires pour un éventuel relai ? A moins qu'il n'y ait plus simple?
J'ai suivi une autre piste qui permet d'en trouver une infinité avec des formules pas vraiment simples.
En fait, pas vraiment besoin du wiki.
Car avec une première solution
, soit
, soit
,
alors on a alors aussi accès à une infinité de solution, vu que les formes quadratiques sont stables par multiplication.
Au carré des 2 côtés,
Donc une nouvelle solution
Ici donne
, soit
On vérifie: on a bien
Et la suivante donne
, soit
On a bien
Effectivement l'approche que j'avais résidait dans l'équation de Pell mais ça tue un peu l'exo (mais bon j'ai rien d'autre pour l'instant)
J'ai essayé de m'intéresser à faire sans , voilà ce que j'ai réussi à faire si ça donne des idées à quelqu'un :
Les nombres sont appelés nombres proniques. (En anglais Pronic numbers). Olfram Mathworld ou villemin Gérard en parlent. Y'a même eu des publications en 1998!
S'ils ne sont jamais carrés, cet exercice montre qu'il y en a donc certains qui sont le triple d'un carré! Étonnant!
Apparemment, il y aurait une "fonction génératrice" .
Comment obtient-on un tel résultat? Est-ce que ça peut avoir une utilisation ici?
Bonjour ,
La fonction génératrice c'est la fonction définie par la série , pas convaincu que ça apporte quelque chose (en tous cas, plus modestement , je ne vois pas ). Mais bon je me trompe peut-être !
Peut-être pour clarifier les recherches, voilà où nous en sommes :
- Nous savons résoudre le problème par les équations de Pell-Fermat mais c'est un peu un bulldozer
- On sait que si est solution,
et
sont des carrés
- En écrivant donc les solutions sous la forme , on a conjecturé
.
- On est bloqué pour montrer cette conjecture avec de l'arithmétique classique ...
Zrun : merci.
_ Une petite erreur?: Pour les , la récurrence est plutôt:
.
Histoire qu'on soit tous d'accord, et en reprenant la notation de l'énoncé, soit , je rappelle les premiers couples
solutions engendrés :
Pour avoir directement les "n" plutôt que les "d", c'est la formule de jarod128 qu'il faut utiliser.
_ Pour les nombres de Fibonacci, une exemple de wikipedia montre comment la formule de binet peut-être déduite de la fonction caractéristique . C'est pour ça que je permettais de soumettre l'idée
_ Les équation de Pell donnent une suite de solutions qu'avec d paire. Et ça n'es tpas terrible, car on en saute pas mal! Possible d'avoir des d impairs?
_ il faut lire "n" et pas "d": les équation de Pell donnent une suite de solutions qu'avec n paire. Et ça n'est pas terrible, car on en saute pas mal! Possible d'avoir des n impairs?
Un complément au dernier message de Zrun :
avec u0 = 0 et u1 = 1.
Je viens de réaliser que, parmi ceux qui ont donné quelques valeurs de n, aucun n'a cité la plus simple, à savoir 0
Je précise que ma formule de récurrence a été trouvé sur le web...
Je n'ai que déduit la formule directe.
Toujours en appelant (un) la suite des entiers vérifiant l'énoncé, on a u2n=4un(un+1)
Cette relation est bien vérifiée par ma formule directe et il est facile de voir que si un vérifie l'énoncé alors u2n également.
Bon je résume: dans l'équation
En terme de solutions:
_ si on parle des "d" :
_ si on parle des "n": , avec
Bonjour,
l'équation proposée par Zrun peut s'écrire ou encore en multipliant par 4,
.
C'est une équation de Fermat-Pell (c'est Fermat qui l'a étudiée en premier), de la forme pour laquelle on ne considère que les solutions avec
impair.
Les solutions de cette équation sont données par mais la résolution peut se faire de façon élémentaire.
Si est une solution avec
et
, alors
et
(obtenus en calculant
) fournit une autre solution vérifiant
et
.
En réitérant le procédé on arrive à la solution.
En remontant les calculs on obtient toutes les solutions à partir de par les récurrences
et
d'où l'on déduit
(même relation pour
). Puisque
a la parité de
et que
a la parité de
on obtient que
est impair quand
est pair.
Une autre façon de résoudre l'équation de départ est de montrer qu'elle est équivalente à et
, d'où la même équation de Fermat-Pell mais cette fois en gardant toutes les solutions.
On en déduit la formule pour (donnée par jarod128) ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite
des solutions de l'équation de départ.
Merci jandri ! C'est fabuleux! Ainsi le wikipedia sur les équation de Fermat-Pell s'éclaircit.
Dès qu'on la première solution , après la triviale
, alors toutes les solutions
sont
.
D'où la suite de solutions
Ici dans notre problème, , et la première solution est
.
Donc
Mais vu qu'on ne prend qu'une solution sur 2 (x impair):
Ca donne en :
Et en :
Tout le problème de ces équations est donc de trouver la solution particulière . Ici elle est facilement accessible!
Et pour le coup on peut tout de suite répondre à l'énigme ! Car c'est presque pareil.
Même démarrage ça renvoit à .
Cette fois , et la solution
, ici encore très facilement accessible!
Cette fois tous les x sont impairs. On garde tout
D'où les solutions .
En :
Soit en :
Bonsoir,
Merci jandri pour ton message
J'ai utilisé la méthode de "descente" que tu y expliques, pour démontrer qu'à partir de la suite (uk) définie par
u0 = 0, u1 = 1 et uk+1 = 4uk - uk-1
on obtient bien toutes les solutions : n = 3(uk)2
Bonjour,
je reviens sur cet exercice intéressant en le généralisant à un nombre premier :
pour quels entiers a-t-on
avec
entier ?
Le cas est connu, il s'agit des nombres triangulaires qui sont égaux à un carré. Je suppose dans la suite que
est un premier impair.
L'équation est équivalente à
qui est une équation Fermat-Pell.
J'admets que les solutions de sont données par
où
est la pus petite solution de
vérifiant
.
Premier cas : est impair et
est pair.
On a alors ,
et
d'où l'on déduit
.
Mais comme est la plus petite solution de
, on a nécessairement
.
On en déduit que est impair (
est impossible) donc
est pair et
.
De on déduit
puis
est toujours impair.
Les valeurs de telles que
sont données par
d'où
,
et
.
On peut aussi montrer que où le polynôme de Tchebychev
est défini par
.
Deuxième cas : est pair et
est impair.
On a alors ,
et
d'où l'on déduit
avec
et
impairs. On en déduit
.
De on déduit
puis
est impair si et seulement si
est pair.
Les valeurs de telles que
sont données par
d'où
,
et
.
On a également avec
.
En conclusion, si alors toutes les solutions de
fournissent une valeur pour
alors que si
seulement une solution sur deux fournit une valeur pour
.
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