Bonjour,

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[blank](1) - (2) --> x+y²-y-x²=y³-x³
(x-y)+(y-x).(y+x)=(y-x).(x²+y²+xy)
(x-y).(1-x-y+x²+y²+xy)=0

a) x-y = 0
x = y
x+x²=x³
x(x²-x-1) = 0
x = 0 ou x = (1 +/- sqrt(5))/2
On vérifie si ces couples solutions conviennent ... c'est oui et donc
Les couples (x,y) valant (0;0) ou (1 + sqrt(5))/2 ,(1 + sqrt(5))/2) ou  
(1 - sqrt(5))/2 ,(1 - sqrt(5))/2) sont solutions.

b)
Avec x diff de y, on peut aussi avoir :
(1-x-y+x²+y²+xy)=0
x²+x(y-1)+y²-y+1 = 0

Equation du second degré en x dont le discriminant vaut :
D = (y²-2y+1)-4(y²-y+1)
D = -3y²+2y-3

Mais le discriminant de D est < 0 et donc D < 0 pour toutes valeurs de y

Il n'y a donc pas de solutions réelles à  (1-x-y+x²+y²+xy)=0

Donc les seuls couples solutions au problème posé sont :

(0;0)
(1 + sqrt(5))/2 ;(1 + sqrt(5))/2)
(1 - sqrt(5))/2 ;(1 - sqrt(5))/2)

D'accord
Je monte d'un cran avec ce nouveau système :
y⁴ + 12x + 16 = 3y³ + 8y²
x⁴ + 12y + 16 = 3x³ + 8x²

Bonjour
Pour la première

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je sens qu'il y a du

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déjà (0,0)

Erreur pour la 2

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c'est mieux avec (2,2)

Bonjour,

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Puisque le système est symétrique, on peut écrire

x^4-3 x^3 -8 x^2 +12 x +16=0

En testant les diviseurs de 16, on remarque que P(-1)=0, P(-2)=0, P(2)=0 et P(4)=0

Donc les 4 racines sont réelles et distinctes :

(-2,-2)
(-1,-1)
(2,2)
(4,4)
et il n'y a pas d'autres racines puisque l'on a un polynôme du 4ème degré

@Pirho,

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Citation :
Puisque le système est symétrique, on peut écrire

x^4-3 x^3 -8 x^2 +12 x +16=0

Comment le justifies-tu ?

@Sylvieg

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Je dirais que P est un polynôme symétrique  si P est invariant pour toute permutation des variables. On peut échanger les x  et y dans les 2 équations.

Mais ma vision est peut-être trop simple d'où pas assez rigoureuse?

Bonsoir,
Je n'ai pas encore cherché.
Mais je soupçonne que Sylvieg a fait en sorte qu'il y ait des solutions avec xy.

Non, je n'y suis pas arrivée
Par contre, j'aimerais voir apparaître, pour les deux systèmes, une justification simple de x = y.
Je crois avoir trouvé une démonstration, mais pas simple.
Et qui ne fonctionne pas dans le cas général.

Finalement, j'en ai trouvé un :
y = x² - 4x + 5
x = y² -4y + 5
On pourra l'appeler "système 3" dans la suite du sujet.

Bonjour,

Pour le problème 2.

Approche que n'aimeront pas les mathématiciens ... mais qui permet d'aboutir.

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Si x = y :
x^4 + 12x + 16 = 3x³ + 8x²

x^4 - 3x² - 8x² + 12x + 16 = 0
qui a pour solutions -2,-1,1,2

Les couples (x,y) solutions avec x = y sont (-2,-2) , (-1,-1), (1,1) , (2,2)

Si x est diff de y :

On élimine y entre les 2 équations, on arrive à :

x^16 - 12x^15 + 22x^14 + 180x^13 - 299x^12 - 2340x^11 + 1708x^10 + 17844x^9 + 3808x^8 - 70272x^7 - 65984x^6 + 101376x^5 + 142336x^4 - 21504x^3 - 57344x^2 + 248832*x + 249856 = 0

Je trace cette courbe sur Excel et regarde sur le graphe les valeurs de x pour lesquelles P(x) = 0
avec P(x) = x^16 - 12x^15 + 22x^14 + 180x^13 - 299x^12 - 2340x^11 + 1708x^10 + 17844x^9 + 3808x^8 - 70272x^7 - 65984x^6 + 101376x^5 + 142336x^4 - 21504x^3 - 57344x^2 + 248832*x + 249856

On lit : x = -2, -1 , 2 , 4, mais aussi : x = 2,79061... et x = 4,23753... Ces 2 dernières valeurs arrondies évidemment.

On retrouve les solutions correspondant à x = y, mais aussi 2 autres qui correspondent aux couples (x,y) = (2,79061... , 4,23753...) et (4,23753... , 2,79061...)

On peut vérifier numériquement que ces 2 couples sont bien solutions (à la précision des calculs près due à l'arrondi)

salut





par soustraction :    


si il peut y avoir donc des solutions (voir plus loin ... ou plus tard)

posons alors   alors    et  

f" admet deux racines de signes contraires ce qui donne les variations de f : croissante - décroissante - croissante

or f'(-1) = -15  et  f'(1) = -9   pénible ...

ho mais quoitestcequejvoisje : f(-1) = 0    donc f admet deux racines (vu que f est un polynôme de degré 4

bon allez "trichons" avec ggb :    et le cas x = y est réglé ...
_{^{et je suis nul : mes deux premières lignes donnent immédiatement la réponse sans avoir besoin de ggb}}



si alors il reste :  

... et la c'est la mouise ...

pardon c'est  

@candide2,
Tu as raison, et la démonstration que je croyais avoir trouvée est donc fausse.
Les trois systèmes sont équivalents à un système de la forme
y = f(x)
x = f(y)
Je pensais que le signe de f(x) - x permettait de conclure.
Visiblement non.

Pour trouver le système 3, j'ai construit une fonction f dont la représentation graphique présente deux points distincts symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
J'avais choisi les points A(1;2) et B(2;1).

Il se trouve que tu as détecté que le système 2 présente aussi cette propriété.

Bonsoir,
Pourquoi se fatiguer alors que SageMath travaille gratuitement pour vous ?

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,"x,y")
J = R.ideal([y^4+12*x+16-3*y^3-8*y^2, x^4+12*y+16-3*x^3-8*x^2])
sols=J.variety(AA)
sols

P=sols[4][x].minpoly()
P

Pirho avait écrit "Mais ma vision est peut-être trop simple d'où pas assez rigoureuse ?"
La mienne aussi

J'étais arrivé aussi à :

carpediem @ 04-03-2026 à 19:49

salut

si alors il reste :  

Soit un polynôme de degré . Le résultant de et de par rapport à , qui est au signe près , est de degré . Les couples solutions du système sont donnés par les racines réelles de , qui est un polynôme de degré et qui est un facteur de . Soit le quotient de par ,  c'est un polynôme de degré . Le système a des solutions réelles en dehors de la diagonale si et seulement si ce polynôme a des racines réelles.

Quand je disais qu'il y avait du

@matheux14 et dpi,
Aviez-vous lu jusqu'au bout le message de candide2 le 03-03-2026 à 18h39 ?

Bonjour

Quelque part on revient toujours au même problème : un message caché n'est pas forcément lu . Quand on relance un vieux sujet , il n'y a aucune raison de cacher les solutions sauf si elles devaient envahir la page  . On abuse du blankage et on fabrique artificiellement des fils qui n'en finissent plus  .

Imod