Bonjour,

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Sauf erreur toujours possible, je tombe sur deux triplets solutions lorsque sont non nuls et a :



et le triplet opposé.

salut

malgré diverses idées rien n'aboutit !!

un nains 10 ?

Quelques précisions :

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On multiplie les 3 équations par et on additionne.
On multiplie les 3 équations par et on additionne.

Pour obtenir:

  

d'où on déduit:

  

On reporte dans la première équation pour obtenir :

   et la suite.

Tout ceci sans aucune précaution/discussion ...

tristesse

quand je regarde les réponses de lake j'ai essayé "tout" sauf ce qu'il a fait !!

Bonjour carpediem,
Dans un premier temps, vu l'énoncé de Glapion, j'étais persuadé qu'il fallait s'orienter vers une solution graphique.
En « éliminant » , on tombe sur l'équation d'une conique :

Il fallait trouver une seconde équation « potable ». Je n'y suis pas parvenu.
Il reste que ce que j'ai fait ensuite est très discutable.
J'ai éludé tous les problèmes. Les discussions sont indispensables ...

Oui bravo lake c'est exactement ça.
effectivement une fois qu'on a trouvé
cx+ay+bz=0
bx+cy+az=0

on peut les voir comme des produits scalaires
(x,y,z) . (c,a,b) = 0
(x,y,z).(b,c,a) = 0
et en déduire que (x,y,z) doit être perpendiculaire aux deux donc colinéaire avec le produit vectoriel (c,a,b)^(b,c,a)
d'où les égalités trouvées par lake


on reporte, etc....

effectivement il faut supposer qu'au moins a,b,ou c sont non nuls.
S'ils sont nuls il n'y a qu'une solution (0;0;0)

Bonjour,

ce système serait beaucoup plus complexe dans !

Par exemple (rien que) pour le cas on trouve comme ensemble de solutions :

_{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour à tous.

Glapion, c'est un joli exercice que tu nous transmets. Je pense avoir trouvé la référence Internet dont tu parlais. Elle comporte plusieurs fautes. En particulier, l'ensemble des solutions lorsque n'est pas mais la droite d'équations (si on se place dans ). Dans la suite, je resterai dans (bonjour, elhor_abdelali).

Sans lake, je n'aurais sans doute pas résolu cet exercice (oui, j'ai consulté les blankés avant de chercher). L'idée de trouver deux plans dans lesquels se trouvent les solutions éventuelles est naturelle si on remarque que le système peut s'écrire


Comme le remarque lake, lorsque , les solutions éventuelles appartiennent à l'intersection des deux plans d'équations cartésiennes et . Cette intersection n'est une droite que si au moins deux des trois réels sont distincts (à démontrer, bien sûr).

Dans le cas où l'intersection des deux plans est une droite, lake trouve une condition nécessaire et suffisante pour que le système admette des solutions:  . On peut simplifier cette condition:   (joli petit exercice). L'expression des deux solutions a été donnée par lake (avec une petite faute typographique). Lorsque , le système n'admet pas de solution.

Il reste à voir ce qui se passe lorsque .

J'ai déjà signalé que lorsque , l'ensemble des solutions est une droite (petit exercice).

Lorsque , l'ensemble des solutions est un cercle situé dans le plan d'équation , de rayon , de centre (mes étudiants de prépa avaient beaucoup de mal dans ce type d'exercice, pour identifier le cercle).

Lorsque , le système n'admet pas de solution.

oui merci perroquet pour toutes ces précisions. Effectivement cet exercice demande une bonne discussion sur a ; b ; c.

C'est vrai qu'il y a donc une erreur dans la vidéo pour a=b=c=0

Bonjour perroquet