Bonjour,

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La rotation de centre et d'angle   envoie sur
D'où et les deux cercles et  

Une petite chasse aux angles fait le reste

Bonjour,
classique
ce point est aussi sur le cercle de diamètre [BC]
la droite (AI) est aussi intéressante
en effet elle passe par le centre du carré construit sur [BC]



d'autre part on peut généraliser avec des n-gones réguliers quelconques
on obtient alors n-1 droites concourantes en un même point !!
exemple avec des hexagones



5 droites concourantes en un même point !
mais la droite (AP) est un peu moins remarquable

Bravo lake,

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Je pense qu'on peut se passer de la rotation
en notant I le second point commun aux cercles circonscrits des carrés.
Peut être traiter à part le cas ou les cercles sont tangents ?

Rebonjour mathafou,
Je me doutais qu'on pouvait généraliser à des polygones réguliers

Je fais court sur mon téléphone :
Il y a plus simple avec des angles connus.

Bonjour
Je vois ici deux polygones (carrés, hexagones, etc) images l'un de l'autre par une similitude.

Cette situation est la conséquence de ce résultat :

dans le plan, on considère une rotation R (d'angle t) et une similitude S (de centre A).
On considère l'image B de A par la rotation R,
puis l'image G de B par la similitude S.
Les points  B et G dépendent de l'angle t,
mais il existe un point P fixe (indépendant de t) appartenant à la droite (B,G) : ce point P dépend de la similitude S et du centre de R, pas de l'angle t.
Si bien que nous avons une infinité de droites concourantes en P.

On voit bien deux cercles ayant deux points communs : le point A et le point P (point de concours de toutes les droites construites).

Bonjour,
Je me permets de préciser ce qu'a écrit leon1789 dans le cas du sujet original proposé par Sylvieg :
Les carrés et se correspondent dans une similitude directe de centre .
Cette même similitude de centre envoie le cercle sur le cercLe .
Or un théorème autrefois connu stipule que :
Deux cercles sécants se correspondent dans une similitude directe qui a pour centre l'un de leurs points communs et la droite qui joint deux points homologues sur ces cercles passe par l'autre point commun.
La conclusion est immédiate.

Le cas (très simple) où les cercles sont tangents ( rectangle en ) est peut-être à examiner à part comme le suggérait .

Faire intervenir des rotations ou des similitudes fonctionne, mais la propriété élémentaire des angles inscrits dans un cercle suffit, en tous cas pour les carrés.
Ça me semble abordable plus tôt dans le cursus scolaire.
Voir mon message blanké de 7h46.

comme tu le dis judicieusement à 25-05-24 à 10:55
il y a deux façons (élémentaires) de faire ça :

- calculer des angles et en déduire que ce point appartient au cercle (moi)

- ou à l'envers (ce que tu préconises) définir le point comme intersection des cercles et en déduire les angles, donc les alignements.
(cette méthode marche aussi avec les n-gones)

OK

Je pense qu'il y a un théorème de géométrie projective parlant d'homographie et de conique qui chapeaute la situation.

C'est de l'humour ?

Non  

Par exemple, on considère la conique (passant par le point (0,0) ) :
a X² + b XY  + c Y² + d X + e Y = 0
et l'application affine :
phi  : (X, Y) --> (q X + c Y + e, -a X + (q-b) Y - d )

L'application possède un point fixe sur la conique,
et pour tout point H sur la conique, la droite H, phi(H) passe toujours par (0,0)

Dans le cas particulier des cercles, l'application affine phi devient une similitude.

Mais je n'arrive pas à énoncer correctement ce théorème de géométrie projective.

Et le point (0,0) appartient aussi à l'image de la conique par phi.

Je relance le sujet de manière plus claire :
dans le plan projectif, on considère une conique,
soit A, B, C trois points sur cette conique,
alors il existe une seule application projective F fixant A, envoyant B sur C, et vérifiant la propriété (*)

(*) tout point P de la conique est aligné avec C et son image F(P)
Autrement dit, toutes les droites (P, F(P)) sont concourantes en C.

Le souci est que je n'arrive pas à définir proprement cette application F (donner les images de deux points n'est pas suffisant) afin qu'elle vérifie la propriété (*)

Comme une conique est définie par 5 points (A, B, C, et deux autres par exemple) , il y a peut-être quelque chose à trouver avec ces deux autres points... je ne sais pas.



PS. Lorsque la conique est un cercle d'un plan affine euclidien, alors cette application est la similitude de centre A et envoyant B sur C.

Un petit dessin

avec des hyperboles

Un théorème (qui ne sert pas pour la situation de l'exercice) :

Sur plan projectif, on considère une transformation projective F, possédant un point fixe noté A.
Soit D et E deux points quelconques,
C le point d'intersection des deux droites ( D , F(D) ) et ( E , F(E) ),
et enfin on note B l'antécédent de C.

Alors tous les points X de la conique définie par les cinq points A,B,C,D,E ont une image F(X) alignée avec X et C.

Bonjour leon1789,
Tu devais ouvrir un autre sujet