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Un trou hexagonal
Bonjour à tous 
Je vous propose un exercice que j'ai trouvé sur un autre site sous une forme complètement tarabiscotée mais contenant des éléments intéressants . Je vous propose donc une version revisitée et très certainement perfectible .
Dans un triangle équilatéral on trace un segment reliant deux côtés et passant par le centre . En faisant tourner ce segment de 120° autour du centre , on partage le triangle en trois triangles et trois quadrilatères identiques . En retournant les triangles , on peut reconstituer avec les six morceaux un nouveau triangle équilatéral percé d'un hexagone . Si cet hexagone a un côté de 2 et un autre de 3 , quels sont alors les périmètres des deux triangles équilatéraux ?
On peut aisément se passer de trigonométrie .
Comme toujours , on s'amuse sans abuser du blanké
Imod
J'illustre en blanké car la recherche de la figure ajoute au plaisir de l'exercice
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Imod
Mon hésitation portait sur:
retournant les triangles , on peut reconstituer avec les six morceaux un nouveau triangle équilatéral
Bonjour,
il faut comprendre comment on les retourne 
parce que on peut sinon obtenir une figure simplement identique à l'image d'origine vue dans un miroir 
PS : j'avais vu ce problème dans l'autre forum cité, impossible de l'y retrouver 
Je "perfecte" :
Dans un triangle équilatéral on trace un segment reliant deux côtés et passant par le centre. En faisant tourner ce segment de 60° et 120° autour du centre, on partage le triangle en trois triangles et trois quadrilatères identiques. En retournant les triangles, on peut reconstituer avec les six morceaux un nouveau triangle équilatéral percé d'un hexagone .
même remarque "on peut" .... si on les place correctement
d'où la figure proposée à l'origine dans l'énoncé il me semble, et gracieusement fournie par Imod
On peut toujours pinailler , j'aime les sujets courts et si on parle de retourner les triangles et pas les quadrilatères c'est qu'il ne s'agit pas d'effectuer une simple rotation . Bon maintenant la figure est visible par qui le veut
J'ai un lien qui est sans doute celui cherché par Mathafou et je lui fournirai à l'occasion mais pas immédiatement pour ne pas trop diriger le problème dans une direction donnée .
Imod
invariance par rotation de 120° du triangle équilatéral
mais en ce qui concerne les 3 droites, c'est équivalent de parler de 3 droites à 60°
Attention Dpi , les deux triangles équilatéraux n'ont pas la même aire 
@Sylvieg : C'est une façon de démarrer , tu as donc la différence d'aire entre les deux triangles équilatéraux , tu devrais pouvoir en déduire le périmètre du grand triangle .
En fait on peut traduire les longueurs des différents éléments à l'aide de trois inconnues . Après il y a des triangles équilatéraus et des triangles semblables , il reste à traduire tout cela avec des équations . Il n'y a pas de grosse astuce sortie de nulle part mais il faut bien repérer les longueurs qui se correspondent sur les deux dessins .
Imod
Il se trouve que dans ma figure ,j'ai retourné les quadrilatères bleus et j'ai obtenu le même triangle équilatéral avec son petit hexagone au milieu...
Le deuxième triangle est construit avec les mêmes pièces que le premier plus un hexagone d'aire non nulle : il y a forcément un problème dans ta construction
Imod
Avant de se lancer dans les calculs il faut vraiment observer attentivement les deux dessins et exprimer les longueurs des différents éléments avec uniquement trois variables : c'est une étape importante .
Imod
>Imod
J'avais voulu voir ce que donnerait la rotation des quadrilatères en utilisant leur angles de 60 ° superposés aux angles du triangle initial.
Cela donne effectivement le petit hexagone central sans autres manipulations.
Je reviendrai plus tard...
jolie remarque
pour ma part je ne l'ai pas utilisée pour répondre à la seule question posée : les périmètres
(et pas toutes les longueurs de la figure)
pour jouer avec Geogebra : 
On peut en fait trouver toutes les longueurs de la figure mais il est déjà amusant de trouver le périmètre des deux triangles , d'autant que l'un donne l'autre immédiatement .
En complément du dessin de Sylvieg , je propose une autre figure qui précise les inconnues en mettant en parallèle les deux assemblages :
Il n'est pas toujours évident de voir les correspondances à cause des retournements .
Imod
Ces problèmes sont souvent posés sous une forme très calculatoire pour motiver les troupes . Je n'aime pas trop les calculs mais j'adore regarder ce qu'il y a derrière et là il y des choses à voir
Imod
Après on peut chercher les côtés des triangles et quadrilatères , ce n'est pas déplaisant non plus .
Imod
Après il y a des ........ et des triangles semblables
Je tente le bonus.
Sans blanker, mais sans être trop explicite :
x + 3 = 23t, y = 18t,
z = 21t
avec
t = 21/62.
moi non plus
d'ailleurs (x+3)+y+z ne donne pas le périmètre annoncé à 10:57 (juste)
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5.42857142857...
Je pense qu'on a fait le tour du problème initial et du bonus
Je donne le lien qui m'a interrogé . Pour moi il y a d'autres questions qui peuvent être soulevées car les côtés de l'hexagone induisent complètement toutes les longueurs dans les deux triangles . On peut donc se questionner sur les valeurs de ces côtés qui fournissent des solutions et dans ce cas comment construire le deuxième triangle à partir de l'hexagone .
Imod
ah !! je ne le cherchais pas dans "Olympiads" ...
comme signalé la question des périmètres se résout en deux coups de cuillère à pot :
"On peut aisément se passer de trigonométrie" et
"Imod @ 26-01-2025 à 09:20 tu as donc la différence d'aire entre les deux triangles équilatéraux"
une simple chasse aux segments égaux, leurs sommes et différences donne que la différence des côtés des deux triangles est égale à la différence des côtés de l'hexagone, donc ici 1
en appelant X le côté du petit, le grand est donc X+1
l'aire de l'hexagone est celle d'un triangle équilatéral de côté 2+3+2=7 moins 3 fois celle d'un triangle de côté 2
donc en faisant le bilan des aires :
soit après simplification
et c'est fini
le calcul de toutes les autres longueurs nécessite bien davantage d'efforts...
j'avoue que j'ai triché en ajustant avec Géogébra, connaissant tout de même les côtés exacts des triangles équilatéraux
(c'est à dire que mon résultat pour le reste n'est "prouvé" qu'à 10-12 près)
Bonjour,
Par curiosité intellectuelle ,que peut on dire du retournement des quadrilatères *au lieu des triangles ?
*ma figure du 26 à 18 h01
C'est bien sûr la même chose . Imagine que les morceaux soient placés sur une table en verre , la manœuvre que tu proposes revient à ranger les pièces en regardant par dessous .
Imod
en fait la figure (Geogebra) semble légèrement plus facile à construire en retournant les quadrilatères au lieu de retourner les triangles
retournement des triangles :
symétrie + translation d'un triangle
translation + rotation d'un angle à déterminer (mesurer) d'un quadrilatère
retournement des quadrilatères :
simple translation d'un triangle
symétrie par rapport à la bissectrice de l'angle F + translation d'un quadrilatère
dans les deux cas on termine par des rotations de 120°
ceci dit la question est avec le logiciel, avec papier et ciseaux à la main c'est exactement pareil.
En dehors de la construction proprement dite , il est intéressant de noter qu'en oubliant l'hexagone , on peut considérer que chacun des deux triangles est construit avec 9 triangles de 2 types ( si on ne tient pas compte de l'orientation ) .
Imod
on remarque aussi la simple déformation de l'hexagone équilatère (mais non régulier) DPEMFN.
ici dans le cas de ma dernière figure
J'ai fait un petit retour sur le problème qui a mon avis n'a pas encore tout dit
On part d'un hexagone équiangle de côtés a et b et on note c le troisième côté entre deux côtés consécutifs . En faisant varier le segment passant par le centre du triangle initial on voit que le rapport a/b atteint ses extrêmes quand celui-ci est parallèle ou perpendiculaire à un côté ce qui se traduit ( sauf erreur ) par un rapport compris entre et son inverse ( avec "1" cas "limite" , l'hexagone disparaissant ) .
Je n'ai pas trouvé de reconstruction du triangle initial à partir des données a et b mais je propose une approche sans garanti ( en conservant mes notations ) :
En faisant glisser l'inverse du triangle abc le long de l'axe donné par c , on obtient de multiples propositions pour x , y et z qui ne vont pas convenir ( sauf une ) car la longueur n'est pas la bonne ou l'alignement n'est pas respecté .
C'est une idée parmi d'autres
Imod
il me semble de tête (je ne suis pas at home et la flemme de refaire le calcul) que le côté du triangle initial serait
X=3ab/|b-a|, constructible par Thalès
et le grand X+|b-a|
mais ensuite ... ?
Sans Thalès , il me semble que le côté du grand triangle est X+b et celui du petit X+a , mais comme tu dis ça ne donne pas la construction des triangles à partir de l'hexagone .
Imod
tout dépend de ce qu'on appelle X (grand X, pas petit x)
j'ai appelé X par définition le côté du triangle initial
(voir mon calcul de 28-01-25 à 14:10)
et celui avec hexagone est alors X +|a-b|, c'est équivalent à ce que tu dis avec une autre définition de X
quant à la construction, que donne le calcul que je n'ai pas fait des diverses dimensions ?
voir AOPS ou le calcul fait par Sylvie
comme le résultat dans l'exemple (2, 3) est rationnel
et que de tête on a aussi au moins une dimension rationnelle pour (2, 4)
on peut espérer une expression "simple" dans le cas général donnant ainsi une construction.
Il est vrai que les notations n'ont pas été posées mais tant qu'on arrive à se comprendre tout va bien
Le problème initial est posé avec un rapport rationnel entre les côtés de l'hexagone mais est-ce important ?
Imod
à mon avis on risque d'avoir des résultats dans 
[a,b]
(l'extension du corps complété par a et b s'ils n'en font pas partie)
donc constructibles à partir de a et b quels qu'en soient les valeurs
même si a ou b n'est même pas algébrique : pour une construction ils sont supposés donnés même s'ils ne sont pas eux même constructibles.
mais pour l'instant c'est juste une conjecture car pas trop le temps de décortiquer d'avantage un calcul explicite des valeurs, ne serait-ce que dans le cas donné 2, 3
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