Bonjour,
Un exemple chiffré aurait été utile  ,alors j'ai pris le cas du cône minimum .

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Soit r le rayon de la boule tangente aux cotés et à la surface
dans ce cas on sait que h=4r
*prenons r=3-->h=12
*angle du cône 0.8 rad
*rayon du cône  4.162278
*volume de la boule  113.0973
*volume du cône  217 7068
*volume évacué   104.6094 soit 48.0506 %

Si on place une boule plus grosse ,le volume évacué sera une calotte sphérique de volume inférieur

@dpi,

Es-tu bien sûr que ta boule jaune éjecte plus d'eau que ma boule violette ?

... Et ma boule violette n'a pas la position optimum (que je n'ai pas calculée)

Bonjour à tous les deux

Quitte à choisir un exemple on peut essayer pour commencer avec un cône d'angle 60° et de hauteur 8 cm . On peut calculer le rayon de la boule mais ce n'est pas l'objectif principal qui est de la dessiner ( à la règle et au compas ) .

Imod

Bonjour,
J'ai cherché et ... séché bien que j'aie via GeoGebra et des méthodes inavouables le rayon optimal.
Dans le cas d'un cône d'angle au sommet 60° j'obtiens un rayon moitié de la hauteur.
Comment ce rayon dépend de l'angle au sommet ? Pour l(instant mystère ....

Bonjour,

Le cas avec alpha = 60° est particulier ...

Avec h = 8 et alpha quelconque, on trouve que la valeur de R est la plus petite des 2 solutions de l'équation du second degré :



Dans le cas particulier où alpha = 60°, on trouve alors R = 4, ce cas est immédiat à dessiner.

Quant aux autres cas, je sais calculer, mais pas dessiner sans calculer.

Plus généralement si on note h la hauteur du cône et â son demi-angle , le rayon R de la meilleure boule est  :

.

Ensuite il faut dessiner la boule et si possible justifier simplement cette construction extrêmement simple .

Imod

Bonjour,
Tout d'abord,mes plus plates excuses j'ai eu un coup de chaleur et
mes calculs initiaux sur le cône minimum  sont faux
Si je les corrige  ,on a:
r boule =3 et h cône=12
R cône  =4.2426
V de la boule   113.0973  donc évacué
V du cône           452.3893
V restant             339.292 soit exactement 75 %

j'ai donc repris avec un angle du cône =90 ° ce qui
simplifie les calculs :
avec une boule totalement tangente j'obtiens  un volume restant de 55.347 %
Dans ce cas il est évident qu'une plus grosse boule évacuera une calotte sphérique de volume plus important.(je cherche le meilleur r)
On constate donc que la réponse dépend de l'angle du
cône.

Tout à fait

Le rayon étant connu , le dessin est réalisable et il a pas mal de particularités .

Imod

J'ai donc travaillé sur un cône d'angle  60° et de hauteur 53
On confirme bien l'équation de candide2
on a V cône= 453.4498 et V boule  170.04369

lire: Volume du cône  226.72  j'avais écrit le double...

Du coup, si je ne me trompe pas ,

la distance entre le sommet du cône et le centre du cercle est donnée par

Cette expression est assez simple pour être dessinée moyennant quelques astuces. Mais je ne vois pas la construction extrêmement simple

Il est difficile de donner un indice sans révéler la solution . Disons qu'on peut imaginer que la boule repose sur le fond d'un cône tronqué (  un peu comme sur le premier dessin de Dpi ) et observer la figure obtenue .

Imod

Bonjour,
Là tu as effectivement tout dit : un milieu donne le point de contact et tout le reste.

Plus précisément :

où l'angle en donne le centre   du cercle.

La justification revient à montrer que :



Ça se fait mais  :

En observant ton dessin on remarque que AIJB est un trapèze isocèle à trois côtés égaux , facile à construire en traçant les bissectrices des angles A et B . Cette remarque permet de placer la bille instantanément . La trigonométrie justifie les choses mais de mon point de vue n'explique rien : pourquoi cette figure très régulière apporte-t-elle la meilleure solution ? On peut par exemple imaginer que l'on fait tourner le cône autour du centre de la bille on "voit" alors apparaître la partie de l'eau qui est chassée et celle qui reste . En fait je cherche une justification visuelle ou physique du résultat .

Imod

Ah ! Je ne connaissais pas cette histoire de trapèze isocèle  avec 3 côtés égaux et deux diagonales bissectrices.
Merci imod

Tu oublieras très vite cette propriété et tu la retrouveras à chaque fois comme je le fais

Même si le dessin de la bille est devenu évident , il reste pour moi une interrogation . L'idée du trapèze à trois côtés égaux n'est pas tombée du ciel , je me souvenais d'une étude du problème isopérimétrique dans laquelle j'étais arrivé à la question suivante : deux points A et D et une longueur L sont donnés , où placer les points B et C pour qu'un quadrilatère ABCD de périmètre L soit d'aire maximale . Les deux problèmes sont voisins dans leurs questions et dans leurs résultats mais sont-ils deux versions du même problème ?

Imod

Bonjour Imod,
Je ne suis pas beaucoup intervenu sur ton sujet mais, cône et sphère obligent, j'ai beaucoup cherché sans grand succès.
Dans un premier temps, j'ai été incapable de produire cette formule :

Plus tard, sur tes indications à 10h17, j'étais très satisfait de mon angle en :
Ton trapèze isocèle est un autre point de vue.
Tes dernières questions ne m'inspirent guère.
En tout état de cause, merci pour ce sujet pas ordinaire

Il n'y a pas d'obligation à participer , chacun fait comme il le sent et c'est très bien comme ça . Le trapèze isocèle figurait tout de même sur ta figure . Même si la preuve devrait suffire , j'ai une fâcheuse tendance à vouloir donner du sens aux résultats obtenus .  Il faut aussi laisser du temps au temps et je suis quasiment sûr que tu n'es pas le seul intéressé par cette question .

Je ne pense pas toujours à le dire , merci à toi et aux autres pour la participation

Imod