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Une complète ?

Posté par
alainpaul 30-12-15 à 12:15

Bonjour,

Il ne s'agit ici ni de 'Krampoueiz'    ni d' ar billig .

La formule suivante , a et x  entiers positifs (a,x):

$(2a^2+2ax+x^2)^2=(2ax+x^2)^2+(2a^2+2ax)^2$

nous donne-t' elle bien  tous les triplets pythagoriciens entiers strictement positifs?
(1,1)  -> $5^2=3^2+4^2$
(1,2)  -> $10^2=8^2+6^2$
(2,1) -> $13^2=5^2+12^2$

Alain

Posté par re : Une complète ? 30-12-15 à 13:21

salut

$(2a^2 + 2ax + x^2)^2 = (2ax + x^2)^2 + (2a^2 + 2ax)^2 <=> [a^2 + (a + x)^2]^2 = x^2(x + 2a)^2 + 4a^2(a + x)^2 <=> [a^2 + (a + x)^2]^2 = [(a + x)^2 - a^2]^2 + [(a + x)^2 + a^2 - x^2]^2$

à comparer aux formules usuelles des triplets pythagoriciens ....

Posté par re : Une complète ? 30-12-15 à 14:14

Bon,

Que veux-tu dire exactement?

La formule que je donne peut se construire assez facilement.

Alain

Posté par re : Une complète ? 30-12-15 à 16:47

Bonjour

J'ai testé ta formule et je n'ai trouvé aucune exception
exemple (7,10) -->338²=240²+238²

Posté par re : Une complète ? 30-12-15 à 18:18

Bonjour,

Nous pouvons construire de telles égalités en considérant d'abord
les seuls doubles produits ,exemple   (2x+y)  et (x+2y)  dont les carrés
donnent le même double produit 4xy  ,il suffit alors de compléter avec les carrés ad hoc pour obtenir une égalité ici:

$(2x+y)^2+3y^2=3x^2+(x+2y)^2$

La méthode appliquée à   $2 \times(ax) \times (x^2+2a^2) = 2 \times (ax )\times x^2+2\times (ax)\times 2a^2$   nous donne:

$(2a^2+2ax+x^2)^2=(x^2+2ax)^2+(2ax+2a^2)^2$

Alain

Posté par re : Une complète ? 30-12-15 à 20:16

Bonsoir,
comme l'a fait remarquer carpediem il s'agit d'une variante de la formule usuelle pour les triplets pythagoriciens.

a=2uv
b=u²-v²
c=u²+v²

u et v étant des entiers.

Posté par re : Une complète ? 31-12-15 à 11:15

Bonjour,

Dois-je aussi comprendre que la formule à laquelle j'arrivais est complète et qu'elle génère   tous les triplets pythagoriciens?

Certaines formules 'génératives' ne sont pas complètes,exemple:

$(1+2a+2a^2)^2=(1+2a)^2+(2a+2a^2)^2$

NOTA:
Ignorer les carrés nous permet de construire simplement des égalités polynomiales :

$(a-b+c)^2=2ac-2ab-2bc  mod.car$   donc nous pouvons écrire:

$(a-b+c)^2=(a+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2     mod.car$ , en complétant avec les carrés ad hoc:

$(a-b+c)^2+a^2+b^2+c^2=(a+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2$

Alain