Bonjour,

Le début, sans garanties.

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est continue sur donc elle admet des primitives.
est dérivable de dérivée donc admet des primitives sur

Similairement

est continue, est dérivable de dérivée donc admet des primitives sur

Bonjour lg124

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Rien à dire sur le fond des idées.
Et du coup pourquoi les carrés n'ont pas de primitives ?

Bonjour,

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Il me semble que si elles l'étaient, la fonction égale à 1 partout sauf en 0 où elle vaudrait 0 aurait une primitive, ce qui n'est pas le cas, les "candidates" étant toutes de dérivé 1 partout.

Bonjour,
Jolis exemples de fonctions non continues qui ont des primitives

Je réponds à Schtromphmol

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j'ai l'impression que tu démontres que f² et g² ne peuvent toutes les deux avoir des primitives.
Mais f² seule ou g² seule ?

Bonjour Schtromphmol.

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Effectivement.
Disons précisément que si F est une primitive de f² et G une primitive de g² la fonction indicatrice de aurait, comme tu dis, une primitive qui est F + G. Ce qui est royalement impossible.

En fait, on peut invoquer la propriété de Darboux qui dit qu'une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Comme on a et donc non alors les fonctions F et G n'existent pas.

Bonjour Sylvieg.

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Si f² seule (ou g² seule) a une primitive, l'autre en a clairement une aussi.

Clairement ?

Bonjour Sylvieg,

c'est parce que .

Tout-à-fait, et comme , alors c'est plié, ni l'une ni l'autre n'a de primitive.

En effet, si F et G étaient des primitives de et respectivement, alors devrait être une fonction de Darboux, i.e. avoir la propriété des valeurs intermédiaires.

Or visiblement, n'a que deux valeurs.

C'est pour cette même raison qu'une fonction comme la partie entière n'a pas de primitive sur aucun ouvert rencontrant mais que f ou g (de l'énoncé) peuvent en avoir une.

On voit donc par cet exemple qu'être une fonction de Darboux, n'est pas suffisant pour admettre une primitive.

L'argument de jandri me semble plus convainquant !

@jsvdb,
La négation de "ni l'une ni l'autre n'a de primitive" est "une des deux a des primitives".
Démarrer par "En effet, si F et G étaient des primitives de f² et g²" ne correspond pas à cette négation.

Je vais essayer d'être plus claire qu'à 15h47.
Soit (P) la proposition : f² a des primitives et g² a des primitives.
Et (Q) : f² a des primitives ou g² a des primitives.
Avec f²+g² on ne démontre que (nonP) et pas (nonQ) .

@Sylvieg
Certes, mais pour le coups on (jsvdb et moi) ne parlait que de l'implication "f² et g² ont des primitives" => "1_(R*) a des primitives". Pour le coup on a un peu snobé la partie "f² a des primitives" => "g² en a" et vice-versa. Mais c'est vrai que dans un raisonnement complet il fallait en parler.

Sylvieg, je suis bien d'accord avec ton raisonnement qui ne me pose aucun soucis.
Donc après ton intervention et l'argument de jandri, il est démontré implicitement que f² admet des primitives si et seulement si g² admet des primitives.
C'est de cette équivalence implicite dont je me sers à 18h45 et qui me permet de démarrer par "En effet, si F et G étaient des primitives de f²  et  g² respectivement".

Je pensai cette équivalence claire, c'est pourquoi je n'ai pas pris la peine de la mentionner.
Je m'aperçois avec du recul que cette équivalence est en fait l'argument clé du problème et que je n'aurais pas dû la passer sous silence.

D'accord

@ jsvdb

Pour montrer que la fonction indicatrice de n'a pas de primitive sur on peut faire intervenir la propriété de Darboux (une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires) mais c'est quand-même plus élémentaire de faire comme l'a dit Schtromphmol le 24-05-18 à 15:35:

une primitive étant continue sur elle est nécessairement de la forme qui entraîne d'où une contradiction.

Peut-être ! Mais si je compare :

- La primitive, par continuité, est nécessairement de la forme trucmuche et donc comme trucmuche'(0) = 1 on a contradiction.
avec
- La dérivée ne vérifie pas la propriété de Darboux,

Il me semble que le plus élémentaire (et le plus court, mais probablement le moins usité) est la seconde proposition.
En réalité c'est blanc bonnet et bonnet blanc.

C'est vrai mais le théorème de Darboux, même s'il est classique, ne figure pas dans les programmes des classes préparatoires alors que la première méthode n'utilise que la définition d'une primitive qui est du niveau de terminale!
C'est pour cela que je dis que c'est plus élémentaire (mais pas plus court!)

Ah oui ! Désolé ! J'oublie toujours ces histoires de programmes ...