salut

on peut considérer un triangle équilatéral de côté 1 (par homothétie de centre O).

en notant h les hauteurs du triangle et O et r le centre et le rayon du cercle inscrit, alors :

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or on sait que (!!) :

   donc

O est aussi le centre de gravité du triangle ABC (car équilatéral) donc

donc  

Bonjour,
Trouver la valeur de la constante en fonction de a n'est pas très difficile :

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Il suffit de placer P au milieu d'un des côtés

Bonsoir, je trouve que la somme donnée vaut :

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5a²/4

oui 5a²/4 est bien la valeur de la constante.

C'est vrai que la démonstration de carpediem est simple et efficace ! ça enlève l'intérêt de mon astuce.

L'astuce dont je parlais consistait à se placer en 3 dimensions avec un repère plaçant A;B;C sur les 3 axes. le plan ABC a alors l'équation x+y+z=1. on place une sphère dont l'intersection avec le plan ABC est justement le cercle inscrit et ça va permettre de trouver ce que vaut x²+y²+z², etc, etc...

merci Glapion

car en parlant de sphère j'ai en tout cas été une bille sur ton précédent sujet !!

Bonjour,
J'ai triché avec la méthode Sylvieg

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1/ on place P  sur  le point de tangence avec  AC par exemple
si on pose a=1 on a  AP²=CP²=0.25    et BP=3/2
donc BP²=0.75 soit 1.25 pour la somme et donc k.
2/on place  P sur le point de tangence avec la hauteur issue de A
en notant que  AP =3/6 et BAP=/6
et cos/6=3/2
La somme des carrés est aussi égale à 1.25
De là à dire que ce serait vraiP

alors juste pour mémoire de la méthode !
le plan ABC a alors l'équation x+y+z=a/2

la sphère dont l'intersection avec le plan ABC donne le cercle a pour équation x²+y²+z²=R²
mais le point médian I milieu de AB est sur le cercle donc sur la sphère et I((a/22);a/22;0) donc :

R²= a²/4
on cherche AP²+BP²+CP²
si A(a/2;0;0) et P(x;y;z) un point du cercle quelconque alors :

AP²= (x-a/2)²+y²+z² et de manière identique ;
BP²= x²+(y-a/2)²)+z²
CP² = x²+y²+(z-a/2)²)
on ajoute les trois :
AP²+BP²+CP²= 3(x²+y²+z²) -2a/2)(x+y+z) + (3a²)/2
mais x²+y²+z² =a²/4et x+y+z = a/2

donc AP²+BP²+CP²= 3a²/4 -a²+3a²/2 = 5a²/4
Donc on est content parce que c'est bien constant.

Bonjour,

Il est rare d'avoir une sphère dans un plan
Mais il faut apprécier cette élégante solution