Bonjour
5^k n'étant jamais divisible par 2 on pourrait l'ôter de l'expression non ?

Bonjour derny,

c'est vrai aussi si on enlève de l'expression mais les divisibilités par des deux sommes sont deux problèmes différents !

La somme de elhor_abdelali est égale à

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(nombres de Fibonacci)

D'accord pour 2^n sans le 5^k.

Bonsoir,

On peut employer l'artillerie lourde : est une unité de l'anneau des entiers de l'extension quadratique . Les éléments de cet anneau des entiers sont les avec entiers de même parité.
Bien sûr est dans cet anneau d'entiers (et c'en est une unité). Donc divise et . Or est la somme de elhor_abdelali.

Cela ressemble beaucoup à ce que j'ai fait : j'ai montré par récurrence que

où et la suite est définie par et .

On obtient que .

Bien vu jandri et GBZM !

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Personnellement je trouve difficile de montrer le résultat sans passer par les nombres de Fibonacci !

Je n'ai pu alors montrer le résultat à mes élèves de pcsi qu'en partant de (après avoir montré que ce dernier est un entier par une récurrence facile)

La passage par Fibonacci cache quelque chose.
On a vu que ça marche pour 5. Ça marche aussi en remplaçant 5 par 1. Et ça marche encore en remplaçant 5 par -3,, par 9, par 13 ... bref par tout entier congru à 1 modulo 4.
Pour voir cela, travailler avec l'anneau où .

Je traduis les propos de GBZM pour ceux qui ne connaissent pas les anneaux.

Soit avec (ou pour ceux qui connaissent les nombres complexes).

L'équation a deux solutions et où .

On montre par récurrence que et
les suites étant définies par , et .
Ce sont donc des suites d'entiers.

Avec la formule du binôme on obtient d'où l'on déduit :
qui démontre que divise l'entier .

Oui GBZM et jandri c'est une belle généralisation !