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Niveau Reprise d'études-Ter
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une définition du secondaire

Posté par
lebesgue
24-03-23 à 13:54

Bonjour,

Voici une définition que l'on trouve très couramment sous cette forme dans les MS de 1ère :
"Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f admet un minimum local en x0 s'il existe un intervalle ouvert J inclus dans I, contenant x0 et tel que , pour tout x de J, f(x)⩾f(x0)"

Pour  en discuter, voici ci après, par exemple, la courbe d'une fonction définie sur [-4;2].

Donc, si je comprends bien cette définition, il est faux de dire que f admet un minimum local à l'abscisse -4?
Et ceci alors même qu'elle y atteint son minimum global...

Pour être sûr que je ne comprenne pas quelque chose de travers, je veux bien votre avis sur cette définition.

une définition du secondaire

Posté par
Pirho
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 14:15

Bonjour,

quelques précisions ici, par exemple

Posté par
lebesgue
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 14:25

Bonjour,

Merci!
En fait, je connais cette page, mais la définition qu'ils utilisent pour l'extrema local n'est elle pas différente de celle que j'ai reporté non?

Posté par
hekla
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 14:40

Bonjour

Pour la définition d'un extremum local en x_0, j'avais l'existence d'un intervalle ouvert centré en x_0

ce qui interdit un maximum local aux bornes.

Posté par
carpediem
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 14:42

salut

il faut avoir fait un peu de topologie pour comprendre que cette définition s'applique à ton cas :

l'inervalle [-4, 2[ est un intervalle ouvert dans l'ensemble [-4, 2] pour la topologie induite par celle de R :

voir exemple ici :

-4 tu as un minimum local ... qui est global !!

Posté par
lebesgue
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 14:45

Merci pour vos contributions.
Dans les définitions (toutes quasi-identiques) visibles dans les manuels du secondaire (celle que j'ai reporté en est un parfait exemple), il n'est pas précisé le mot "centré", mais par contre il est bien précisé que l'intervalle ouvert J doit être inclu dans I, donc cela exclu aussi un minimum local aux bornes il me semble non?

Posté par
carpediem
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 15:18



sur l'intervalle [-4, -1] tu as un minimum local en -1 ...

Posté par
Rintaro
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 15:51

Bonjour

carpediem on est tous d'accord et ton argument avec la topologie induite est la solution du problème de lebesgue. Seulement, si on se place dans la tête d'un élève du secondaire, un intervalle ouvert est forcément de la forme ]a,b[, donc sur la représentation graphique de la fonction sur [-4,2] donnée dans le premier post et par la définition d'extrema local donné, -4 ne peut être un minimum local car un intervalle ouvert inclus dans [-4,2] et contenant -4 ça n'existe pas (pour un élève du secondaire je rappelle, bien sûr avec la topologie induite encore une fois ça fonctionne comme sur des roulettes), d'où le questionnement de lebesgue il me semble, ce qui casse un peu la définition de l'extrema local. Pour pallier au problème, il suffit de dire que la fonction f est définie sur un intervalle ouvert (j'aime bien tricher ).

Posté par
Rintaro
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 15:54

C'est d'ailleurs dommage de ne pas faire un peu de topo en secondaire (juste métrique), je me rends pas bien compte du niveau d'abstraction nécessaire pour comprendre ces histoires de topologie induite. Cela pourrait résoudre le problème.

Posté par
carpediem
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 17:30

certes mais indépendamment de tout cela il y a la définition d'extremum tout court :

f(-4) est par définition le minimum (donc global) de f et tout extremum global est toujours un extremum local, c'est à dire l'extremum sur tout sous-ensemble contenant son lieu, que ce sous-ensemble soit ouvert ou fermé ...

PS : on s'interdit fermé pour éviter les ensembles intervalles du type [a, a] donc pour imposer au sous-ensemble de contenir le lieu et au moins un autre réel ...

Posté par
Rintaro
re : une définition du secondaire 24-03-23 à 18:09

Ah oui, à force de travailler que des propriétés locales, j'ai oublié l'extrema global bien vu



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