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Niveau Reprise d'études-Ter
une définition du secondaire
Posté par lebesgue
Bonjour,
Voici une définition que l'on trouve très couramment sous cette forme dans les MS de 1ère :
"Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f admet un minimum local en x0 s'il existe un intervalle ouvert J inclus dans I, contenant x0 et tel que , pour tout x de J, f(x)⩾f(x0)"
Pour en discuter, voici ci après, par exemple, la courbe d'une fonction définie sur [-4;2].
Donc, si je comprends bien cette définition, il est faux de dire que f admet un minimum local à l'abscisse -4?
Et ceci alors même qu'elle y atteint son minimum global...
Pour être sûr que je ne comprenne pas quelque chose de travers, je veux bien votre avis sur cette définition.
Bonjour,
Merci!
En fait, je connais cette page, mais la définition qu'ils utilisent pour l'extrema local n'est elle pas différente de celle que j'ai reporté non?
Bonjour
Pour la définition d'un extremum local en , j'avais l'existence d'un intervalle ouvert centré en
ce qui interdit un maximum local aux bornes.
salut
il faut avoir fait un peu de topologie pour comprendre que cette définition s'applique à ton cas :
l'inervalle [-4, 2[ est un intervalle ouvert dans l'ensemble [-4, 2] pour la topologie induite par celle de R :
voir exemple ici : 
-4 tu as un minimum local ... qui est global !!
Merci pour vos contributions.
Dans les définitions (toutes quasi-identiques) visibles dans les manuels du secondaire (celle que j'ai reporté en est un parfait exemple), il n'est pas précisé le mot "centré", mais par contre il est bien précisé que l'intervalle ouvert J doit être inclu dans I, donc cela exclu aussi un minimum local aux bornes il me semble non?
Bonjour
carpediem on est tous d'accord et ton argument avec la topologie induite est la solution du problème de lebesgue. Seulement, si on se place dans la tête d'un élève du secondaire, un intervalle ouvert est forcément de la forme ]a,b[, donc sur la représentation graphique de la fonction sur [-4,2] donnée dans le premier post et par la définition d'extrema local donné, -4 ne peut être un minimum local car un intervalle ouvert inclus dans [-4,2] et contenant -4 ça n'existe pas (pour un élève du secondaire je rappelle, bien sûr avec la topologie induite encore une fois ça fonctionne comme sur des roulettes), d'où le questionnement de lebesgue il me semble, ce qui casse un peu la définition de l'extrema local. Pour pallier au problème, il suffit de dire que la fonction f est définie sur un intervalle ouvert (j'aime bien tricher 
).
C'est d'ailleurs dommage de ne pas faire un peu de topo en secondaire (juste métrique), je me rends pas bien compte du niveau d'abstraction nécessaire pour comprendre ces histoires de topologie induite. Cela pourrait résoudre le problème.
certes mais indépendamment de tout cela il y a la définition d'extremum tout court :
f(-4) est par définition le minimum (donc global) de f et tout extremum global est toujours un extremum local, c'est à dire l'extremum sur tout sous-ensemble contenant son lieu, que ce sous-ensemble soit ouvert ou fermé ...
PS : on s'interdit fermé pour éviter les ensembles intervalles du type [a, a] donc pour imposer au sous-ensemble de contenir le lieu et au moins un autre réel ...
