Bonjour,

Un vecteur de la droite est (x2-x1 , y2-y1)
En coordonnées paramétriques, tous les points de la droite sont de la forme :
(x1 + t(x2-x1) , x2+t(y2-y1)) t
Déjà, tous les points tels que t sont entiers.
Les autres t "candidats" sont tels que :
t ,
t(x2-x1)
t(y2-y1)
Si on écrit t = p/q, forme irréductible, alors on doit avoir :
x2-x1 multiple de q
y2-y1 multiple de q
A partir de là, je laisse les arithméticiens continuer

Je continue donc
q est un diviseur commun de x2-x1 et y2-y1 .
Avec d = PGCD( x2-x1 , y2-y1 ) , q est un diviseur de d.
q = dq' et p/q = pq' / d .

Réciproquement, si t = k/d avec k , alors les points sont entiers.

Les points entiers sont donc ceux de la forme ( x1 + t(x2-x1) , x2 + t(y2-y1) )
avec t = k/d où k et d = PGCD( x2-x1 , y2-y1 ) .

Oups : ce n'est pas q = dq' mais d = qq'

Merci Sylvieg !

De rien
J'avais démarré avec une équation cartésienne de la droite.
Quand ton message est arrivé, j'étais en train de réaliser que j'aboutissais, laborieusement, à quelque chose de proche de la représentation paramétrique.

Une autre manière d'écrire le résultat :
Poser d = PGCD( x2-x1 , y2-y1 ) , a = (x2-x1) / d et b = (y2-y1) / d .
Les points entiers sont les points de coordonnées ( x1 + ka , x2 + kb ) où k

C'est encore plus clair comme ça, merci !

Bonjour,

Merci de votre active et rapide participation.

Je reste avec mes points et une équation ponctuelle:



1°)  pgcd   ;

2°) pgcd  ;on remplace m par m/


L'existence de points entiers sur les courbes a intéressé de nombreux mathématiciens,ce sont des questions difficiles à résoudre.

Bien amicalement,

Alain

Bonsoir,


La résolution de l'équation ponctuelle nous donne les points entiers :
,

Nous pouvons aussi considérer les solutions (x,y) de l'équation diophantienne  b=y-ax  ,   et  
     

Merci encore,

Alain

Bonsoir alainpaul,

Je ne pense pas que pgcd( x₁, x₂, y₁, y₂ ) ou pgcd( x₁, x₂, y₁y₂ ) soient appropriés.

Il me semble que pgcd( x₂-x₁ , y₂-y₁ ) l'est plus

Par ailleurs, pour la droite (P₁P₂) , il est plus facile de travailler avec qu'avec une équation ponctuelle. C'est ce qu'a fait LeHibou .

On a alors les coordonnées des points M de la droite : x1 + t(x2-x1) et x2 + t(y2-y1)
Pas d'équation diophantienne, il suffit de trouver les t réels tels que ces deux coordonnées soient entières.

Bonsoir,


C'est par curiosité personnelle que je creuse l'aspect ponctuel,j'aboutis d'ailleurs au
même résultat que toi;sans prétendre que cette voie soit plus simple que la vectorielle.

Equations diophantiennes:
je  me demandais si l'on ne pouvait pas obtenir des retombées de ces calculs en termes
'diophantiens' ,solutions entières.

Amicalement,

Alain