On trouve une meilleure approximation avec seulement des fractions rationnelles...
355/113 3,141592920
103993/33102    3,14159265301

voir plus ici:

Bonjour,
Ca me parait très intéressant, mais dans tous les cas, il n'y pas de façon d'obtenir une valeur de pi par une fonction exacte, quelle qu'elle soit. Ce nombre a toujours été fascinant. Par exemple, on a pu dire que les égyptiens utilisaient un cylindre de diamètre 1, après une rotation complète de ce cylindre, on obtient naturellement une longueur égale à pi.
Si on superpose deux cylindres, on obtient 2 fois le diamètre etc. Je n'ai aucune référence sur ce point, mais j'ai des tas d'autres références sur des manières de définir pi de façon géométrique et approximative.

A titre humoristique, on peut obtenir une valeur de pi à l'aide d'une feuille de papier quadrillée et d'un cheveu coupé en quatre (dans le sens de la longueur, naturellement).
C'est aussi une méthode qui a été utilisée pour vérifier le loi de base des probabilités : l'aiguille de Buffon.        

Bonsoir

Bonjour

>Weierstrass
Vu le site...à partir de certaines lignes,mieux
vaut se souvenir du "vrai"
>lafol
Bien vrai ,mais qui sait plusieurs décimales de Arctan(1)

ici j'ai essayé de poster un truc joli (mais c'est un critère non mathématique qui définit cela)
des naturels "petits" ici  3,5,6,30
une formule pas trop longue
pas de choses plus élaborées qu'une racine carré ou un carré
des nombres plutôt "jolis"  le nombre d'or, les nombres alpha et beta tels qu'ils sont construits

pour moi selon ces criteres là trois formules d'approx sont "jolies"

la premiere 22/7=3.142 ...approx troisième décimale

la deuxieme  approx quatrième décimale

et celle avec alpha et beta approx neuvième décimale

dpi : on n'en retient pas plusieurs décimales, ça ne sert à rien, mais un développement en série
il y a d'ailleurs mieux point de vue calcul que 4 Arctan 1, pour obtenir à la main des décimales de pi
Euler en a obtenu 20 en une demi heure à partir de pi/a = 5 arctan(1/7) + 2 arctan(3/79), en utilisant le développement d'arctan :



(avec 1/7, ce qui simplifie bien les calculs ...)

sinon il y a la formule extraite de l'utilisation de la moyenne arithmetico geometrique de Gauss mais élaborée dans les années 70 (à ce propos j'ai à fil a terminer ici sur les suites adjacentes )
elle est simple et hyper rapide
en posant , , et pour alors
et
et on obtiens

Bonjour.
4 arctan(1) n'est autre que le rapport entre le demi-cercle sur le rayon et ne va pas plus loin que la définition de pi.

c'était juste une des innombrables fonctions qui donnent pi ... en réponse à quelqu'un qui semblait persuadé qu'il n'en existait aucune ....

Bonjour lafol,
Oui, tu as parfaitement raison, j'ai placé l'adjectif "exact" après le terme "fonction", alors que j'aurais dû le placer après le terme "valeur". Toute fonction est exacte par essence, c'est la valeur qu'elle renvoie qui n'est généralement pas exacte. C'est pour cette raison qu'on a inventé les développements en série.
  

arctan(1) vaut exactement pi/4, qu'on le développe en série ou non ....

la formulation utilisant la moyenne arithmético géometrique  
Posté le 28-10-14 à 14:38  est de Brent & Salamin

ici un lien

le périmètre d'un cercle de diamètre 1 est