Niveau exercices

Une égalité troublante

Posté par
thetapinch27 02-01-24 à 08:31

Bonjour et meilleurs voeux pour 2024!

Avant d'écrire le sujet de l'énigme, j'en profite pour partager une petite particularité du nombre 2024 :
$2024=2^3 + 3^3 + \ldots + 9^3.$
...voilà ça c'est fait.

Maintenant, le sujet de l'énigme :
On considère l'ensemble $E=\{1,2,\ldots , 90\}$ , que l'on partitionne en 2 sous-ensembles de 45 éléments A et B. Soient $a_1 < a_2 <\ldots <a_{45}$ les éléments de A, et $b_1>b_2>\ldots>b_{45}$ les éléments de B. Montrer que :

$\left(\sum_{j=1}^{45} |a_j - b_j| \right) - 1 = 2024$

je conviens que le "-1" dans le membre de gauche est très artificiel car je ne voulais pas attendre une année de plus

Bonne journée

Posté par re : Une égalité troublante 02-01-24 à 10:38

Soit $A = \{a_1, a_2, ... a_n\}$ et $B = \{b_1, b_2, ... b_n\}$ une partition de $E = \{1,2,...,n,n+1,...,2n\}$ telle que $a_1 < a_2 <...< a_n$ et $b_1 > b_2 > ... > b_n$ .

Soit $A' = \{a'_1, a'_2, ... a'_n\}$ tel que $a'_j = min(a_j,b_j)$ et $B' = \{b'_1, b'_2, ... b'_n\}$ tel que $b'_j = max(a_j,b_j)$ .

On a $\sum_{j=1}^n{|a_j-b_j|} = \sum_{j=1}^n{b'_j-a'_j}= \sum_{j=1}^n{b'_j} - \sum_{j=1}^n{a'_j}$ .

Or $b'_j >= a_j > a_{j-1}>...>a_1$ et $b'_j >= b_j > b_{j+1} > ... > b_{n}$ donc $b'_j >= j + n-j +1= n+1$ .
Donc $B' = \{n+1, ... 2n\}$ et $A' = \{1,...,n\}$ .

Donc $\sum_{j=1}^n{b'_j} - \sum_{j=1}^n{a'_j} = \sum_{j=1}^n{n+j} - \sum_{j=1}^n{j} =\sum_{j=1}^n{n} = n²$

Ici $n=45$ et donc $n²=2025$ .