Bonsoir,
J'ai trouvé une solution :

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(0,0,0)

salut

posons   et donc

soit  

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multiplions par r cette égalité :  

or l'unicité des coefficients x, y et z dans le Q-espace vectoriel R implique :

x = 2z
y = x
z = 2y

soit en multipliant membre à membre : xyz = 0

il suffit que l'un des facteurs soit nul pour que les deux autres le soient par irrationnalité de r



en élevant au carré on obtient :
(une première idée bien plus compliquée que la simple multiplication par r)

Bonsoir,
@carpediem,

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Ne faut-il pas insérer dans tes trois égalités un rapport de proportionnalité k ?
k est rationnel car x, y et z le sont.
Si xyz non nuls, on a k³ = 1/4.
Donc xyz = 0.
La conclusion est alors la même.

Re-bonsoir,

Sylvieg : C'est un bon début
carpediem : Je ne comprends pas le raisonnement.

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Il doit probablement exister  une approche qui tue le truc en travaillant sur Z[r]. Mais je précise que j'ai une solution qui n'utilise rien d'autre que du "bidouillage" d'expressions.

Bonjour,
une réponse pratique ...

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y=1 ;z=1; x=-2.8473

thetapinch27:

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je dis (sans le dire) que (1, r, r^2) est une famille libre du Q-espace vectoriel R

mais bon en fait c'est peut-être ce qu'il faut montrer !!

Sylvieg : je n'ai pas mis tous les détails mais :

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si xyz = 4xyz alors xyz = 0

et ce qu'on multiplie x, y et z par un coefficient k (non nul) ou pas

l'important étant que k ne soit pas nul

@carpediem,
Je précise :

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J'aurais écrit
x = 2kz
y = kx
z = ky
avec k rationnel car x, y et z le sont.
D'où xyz = 2k³xyz .
k³ n'est pas égal à 1/2 ; donc ....

ha oui tu as raison !!

merci car j'étais passé effectivement à côté ...

@thetapinch27,
J'ai suivi ton conseil
de "bidouillage" d'expressions.
Et ça marche

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Commencer par démontrer que si un des trois rationnels, x, y ou z est nul alors les trois sont nuls.
On suppose ensuite xyz non nul.
On peut éliminer r² à partir des deux égalités suivantes :
yr + zr² = -x
xr + yr² = -2z
On trouve (y²-xz)r = 2z² - xy.
r n'est pas rationnel, donc y² = xz et 2z² = xy.
D'où (y/z)³ = 2.
Ce qui est impossible.

Je donne ma réponse concrète* qui bien sûr n'est pas unique....

x=-1295113/454853
y=1
z=1
* On obtient 0 concrètement mais en maths...

Bonsoir,

Bien joué Sylvieg. Ma solution n'a absolument rien à voir, elle est beaucoup plus compliquée . Je la donne ci-dessous :

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En élevant au cube l'équation, et factorisant par x+2_1/3y+4^1/3z (qui fait 0 par hypothèse) autant que possible on a la forme simple :
0 = x³+2y³+4z³ -6xyz  donc x³+2y³+4z³ = 6xyz
Puis l'étude de la parité de x,y,z montre qu'ils ne peuvent être que tous nuls (sinon on arrive à "sortir" des facteurs 2 indéfiniment).

PS : Cette identité a³+b³+c³=3abc (sous l'hypothèse a+b+c=0) peut se trouver  en regardant les relations coeff/racines en degrés 3.

On sait depuis Fermat que  x³+y³=z³ ne peut avoir de solution.
On sait aussi que les racines n èmes sont souvent irrationnelles.
Notre équation du départ a donc toutes les chances de ne pas avoir de solution (ce qui a été démontré par les brillants participants)

Pourtant si un problème concret dépendait de cette résolution on
arrive à des approches extrêmement proches.

Avez-vous calculé la mienne ?

@dpi
Tu as une bonne approximation de .



Mais on ne cherchait pas une approximation.

oui ,mais quand on sait dès le départ que c'est impossible,on est toujours curieux de chercher une solution la plus proche

Une autre réponse "pratique" :
x = y = z = 10^-2024

LittleFox : si tu pouvais voir là Dénombrement et nous sortir un de tes codes hyper efficaces dont tu as le secret

merci par avance