Bonjour,

1ère remarque : si f vérifie le problème posé alors f est dérivable une infinité de fois.
En reformulant on a : (équation différentielle non linéaire), si f s'annule alors f est nulle d'après le théorème de Cauchy Lipschitz sinon l'équation devient : on intègre entre 0 et x et cela devrait marcher...

A plus

En fait je crois que tu as mal lu l'énoncé.... c'est f '(x)=f(f(x))

J'ai trouvé!

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... une solution. La fonction nulle est une solution de  l'équation différentielle donnée

Salut , personne n'a d'idée ?

Si ça se trouve il n'y à pas de solutions (excepté la fonction nulle bien sur ). après pour le démontré...

(Lolo : sans vouloir te vexer, s'il te plait, essaye de faire un effort pour l'orthographe... :

il n'y a (sans accent car c'est la conjugaison du verbe "avoir"... mets à l'imparfait tu verras !)

exceptée la fonction nulle (la fonction nulle est du genre féminin !)

pour le démontrer... c'est un infinitif... remplace par un verbe du troisième groupe pour le voir (pour le vendre par exemple)...

sinon, pour le problème posé, cela ne me paraît effectivement pas simple !

Juste comme ca, une piste (je ne sais pas si elle marche car il y a pas mal de problèmes à gérer)

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Donc, si f(f(x)) <> 0 alors f'(x)/f(f(x)) = 1 dont on intègre entre 0 et x par exemple puis on utilise la formule de changement de variable ca nous fait l'intégrale de dy/f(y) entre f(0) et f(x) est égal à x. On a enlevé une "couche" de f au prix d'une intégrale, je ne sais pas si ca simplifie le problème.  

Comme toi drysss , j'ai une piste qui ne facilite pas tellement la tâche .
f est évidemment dérivable une infinité de fois , on peut donc dériver les deux membres de l'équation , et on obtient f ''(x)=f '(x)f '(f(x)).
f '(f(x))=f(f(f(x)))=f(f '(x)) donc f ''(x)=f '(x)f(f '(x)) , et en supposant que f '(x)f(f '(x)) <> 0 on intègre 1/(yf(y)) entre 0 et f '(x) en égalisant avec x ( à une constante près )

oups , plutôt x sans ajouter de constante .

salut ! personne n'arrive à résoudre le problème ??