Bonjour,

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Il y a du dans l'air

@fabo34
x est la somme de deux racines positives et est donc positif 😉

LittleFox : j'ai honte. La pire que je n'ai jamais écrite. .  Par amour propre, je vais dire que c'était la fatigue . Trop d'arithmétique; les carrés de Fermat m'ont usé ...

Il ne faut pas avoir honte. On reste humains, ça nous arrive tous

Je ne sais pas si c'est simple assez

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En séparant une racine à la fois et en mettant au carré, on obtient :



On peut reconnaitre

Dont les solutions sont et . Comme est positif, on ne garde que la première solution.

Bravo LittleFox !
J'ai été motivée pour tourner dans tous les sens ta méthode en espérant faire apparaître une histoire de double produit avant de développer ; et voici ce que ça donne :

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x 1.
En isolant la première racine carrée :

@Sylvieg
Pas mal

Je ne vois pas comment tu passes directement à la dernière équation.
Moi j'ai ceci:

Qu'on peut ensuite simplifier en .

Oui, tu as raison. C'est une coquille.

salut

x > 1 bien sûr ...

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après avoir multiplié par on élève au carré pour obtenir:

  ... mais quoi faire ? pas simple du tout !!


en isolant alors la racine carré on obtient

on élève au carré :



en développant les constantes sautent et après factorisation par x il reste

Bonjour carpediem
Je préfère x 1.
J'ai écrit comment reconnaître plus facilement une identité remarquable avec un seul double produit.
On peut aussi démontrer l'inégalité suivante pour tout x 1 :

Sylvieg : le symbole > pour aller plus vite  ...

et parce qu'on vérifie immédiatement aussi (calcul mental) que 1 n'est pas solution puisqu'il est son propre inverse (car quand x = 1 alors x= 1 = 1 )

et oui je jongle avec les carrés d'une somme/différence grâce au double produit

oui en fait je vois ce que tu veux dire : j'aurai pu utiliser le procédé (que j'utilise comme dans le cas de mon impasse) pour ma deuxième proposition sans avoir besoin d'élever une dernière fois au carré et m'éviter certaines jongleries pour arriver à



il me reste toujours une racine carrée mais il est aisé de s'en débarrasser ...

Bonjour

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La racine positive est bien sûr 1.618

oui vos démonstrations sont bien !
moi j'avais :
on pose a = (x-1/x) et b = (1-1/x)
et donc
a + b = x (a-b)(a+b) = x(a-b) a²-b² = x(a-b)
mais a²-b² = x-1 et donc a - b = (x-1)/x = 1-1/x

si on ajoute les deux équations a + b = x et a - b = 1-1/x ça donne :
2a = x - 1/x + 1 = a²+1 (a-1)²=0 a = 1 x - 1/x = 1 x²-x-1 = 0 et on prend la racine positive.

Mais ces manip ne sont pas plus simples que ce que vous avez fait.

j'avais eu cette idée de multiplier par la quantité conjuguée mais pas de poser a et b et obtenir des résultats simples donc je ne voyais rien d'intéressant...

et je trouve que c'est quand même plus simple que mes jongleries algébriques !!