Niveau exercices

Une équation fonctionnelle !

Posté par
elhor_abdelali 05-09-11 à 04:38

Bonjour ,

Quelles sont les fonctions continues $\blue\boxed{h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ vérifiant $\red\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;h(2x)=\frac{1+(h(x))^2}{2}}$ _{bonne réflexion !}
édit Océane : forum modifié

Posté par Une équation fonctionnelle ! 05-09-11 à 09:24

bonjour,
Comme pour une question déjà posée, il me semble que sur $[1;+\infty[$ la fonction h est entièrement définie par sa définition sur [1,2] avec la condition $h(2)=\frac{1+h(1)^2}{2}$ et h(1) $\ge 1$ ensuite sur $[\frac{1}{2^{n+1}};\frac{1}{2^n}]$ avec $n\in \mathbb{N}$ on peut définir h par $h(x)=\sqrt{2h(2x)-1}$ la condition $h(x)\ge 1$ sur [1;2] est nécessaire, cela mis à part il semble que l'on ait la plus grande liberté de définir h
La suite $(u_n)$ définie par $U_0>1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}$ est convergente et de limite 1, ce qui conforte le premier constat h(0)=1;
pour la partie négative de $\mathbb{R}$ l'idée est la même

Posté par re : Une équation fonctionnelle ! 05-09-11 à 18:57

Bonjour,

On montre en particularisant x=0 que 2h(0)=h(0)^2+1, soit (h(0)-1)^2=0, donc h(0)=1.

La fonction constante égale à 1 sur R est continue, elle vérifie (1+h(x)^2)/2=(1+1^2)/2=1=h(2x), c'est une solution du problème posé.

Je regarde pour déterminer toutes les solutions.

Posté par re : Une équation fonctionnelle ! 06-09-11 à 09:40

La restriction de H :  t (1 + t²)/2 à  [0 , 1] est croissante sur [0 , 1]  .
La suite n Hⁿ , des composées de H par elle même , converge simplement , sur [0 , 1] ,  vers 1 . La convergence est même uniforme (DINI) .
Soit alors h : continue en 0 telle que h(2x) = H(h(x)) pour tout x .
Soit x .On a , pour tout entier n > 0 , h(x) = Hⁿ(h(x/2ⁿ)) . Comme h(x/2ⁿ) [0 , 1] pour n assez grand  , on voit que h(x) = 1 .

x 1 est donc la seule solution du problème qu' elhor_abdelali a proposé à notre (bonne) réflexion .

Posté par Une équation fonctionnelle ! 06-09-11 à 17:21

Bonjour,
J'ai l'impression que certains n'ont pas lu ma preuve ou ne l'ont pas comprise, peut-être me suis-je mal expliqué.
La preuve de kybjm  est fausse car il  suppose  que $h(\frac{x}{2^n})\in [0;1]$
or je montre un exemple où $h(\frac{x}{2^n})$ décroît vers 1

Il existe d'autres fonctions que la fonction constante 1 solution du PB de elhor_abdelali .
Pour exemple considérons la fonction  affine définie sur [1;2]avec h(1)=2, h(2)=2,5 , en fait elle peut-être quelconque, il suffit que h(1)>1 et h(2)=(1+(h(1))²)/2
Ensuite sur l'intervalle [2,4]on définit h par h(x)=(1+(h(x/2))²)/2, et ainsi de suite sur [4;8], [8;16]...on construit ainsi une fonction continue sur $[1;+\infty[$ et qui par construction  satisfait à la relation initiale.
ensuite sur [0,5;1] on définit h par $h(x)=\sqrt{2h(2x)-1}$ puis sur [1/4;1/2] de la même manière $h(x)=\sqrt{2h(2x)-1}$
Le processus descendant infini définit bien une fonction continue sur ]0,1]qui se prolonge par continuité en 0 par h(0)=1, c'est la suite que je définis dans le post précédent
Il suffit ensuite de définir h par parité sur $]-\infty;0]$

Posté par re : Une équation fonctionnelle ! 06-09-11 à 20:44

Bonjour ,

$\boxed{*}$ C'est exact DOMOREA !

Il y a une infinité de solutions et plus précisément autant qu'il y a de couples de fonctions continues $\left(f,g\right)$ avec ,

$\boxed{f:[-2,-1]\to[1,+\infty[}$ , $\boxed{g:[1,2]\to[1,+\infty[}$ , $\boxed{f(-2)=\frac{1+\left(f(-1)\right)^2}{2}}$ et $\boxed{g(2)=\frac{1+\left(g(1)\right)^2}{2}}$ .

$\boxed{*}$ Par contre l'unique solution dérivable est la fonction constante $\boxed{h:x\mapsto1}$ _{bonne réflexion !}

Posté par re : Une équation fonctionnelle ! 06-09-11 à 22:40

Et pour être plus précis !

L'unique fonction $\blue\boxed{h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ dérivable en 0 et vérifiant $\red\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;h(2x)=\frac{1+\left(h(x)\right)^2}{2}}$ est la fonction constante $\blue\boxed{h:x\mapsto1}$