Bonjour,
f(0) = f(0)² = 0 ou 1
f est positive pour x entier
supposons f positive pour éviter des problèmes de définition avec la puissance.
alors f' positive donc f croissante
lim f en -1 = 1 ou -inf
si lim f = 1, alors f = 1 sur ]-1,0]
don f'(x) = 0 sur ]-1,0] (en -1/2 par continuité de f...)
donc f(x) = 0 sur ]-1,0] absurde
don lim f en -1 = -inf
donc f est forcément négative au voisinage de  -1
ça devient compliqué, on bascule sur une fonction à valeurs complexes...

Prenons alors f définie sur R+:
si f(0) = 1
pour tout x  positif, x supérieur à 1.
f(x²+2x)f(x²+2x)^2x+2=f(x)f(x²+2x)
donc f constant absurde (comme avant)
donc f(0) = 0 et f(x)<1 pour tout x
lim f en +inf = 0 ou 1
lim = 0 absurde (comme avant)
donc f tend vers 1.

Je pense que pour pouvoir conclure, il faudrait une fixer une valeur de f(a) pour a>0, mais je ne suis pas sûr que ça suffise...

En espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs, je suis peut être allé trop vite sur certains points...

Bon dimanche,

Je te donne les éléments de ma construction:
h(x)=x^2+2x et la relation peut s'écrire;


J'ai aussi utilisé une autre fonction

compte les itérations de  h ,


f peut alors s'exprimer en fonction de


A plus,


Alain

Bonne fin de semaine,


Ta réponse est souhaitée,




Alain

Bonjour,
je ne vois pas trop en quoi la forme f(x) = f(h(x))^h'(x) apporte
si je ne fais pas d'erreur, phi(x) = ce^h(x)-1 mais je ne vois pas ce que je peux en faire, ni l'exprimer en fonction de f...

Par contre on a pour x strictement positif
donc pour x strictement positif
donc pour x strictement positif
En posant X = x^2+2x
x = (1+X)-1
On obtient alors pour X strictement positif
La je sens bien une grosse erreur de calcul ou une faute dans le raisonnement, à vérifier...

Bonjour,

Tu connais la fonction d'Abel liée à h(x)


Cette fonction compte les itérations de h .

Nous avons aussi:


Dans l'équation donnée il nous manque:


...


Alain

J'ai fait une erreur dans mon calcul de phi, et mon calcul est faux (j'ai simplifié par f(x) le f'(x)...)
Et je ne vois toujours pas où vous voulez en venir, je ne connais pas les fonctions d'abel....

Bon dimanche,



Je me suis intéressé aux fonctions itérées ,à l'expression de
certaines d' entr'elles sous forme non foisonnante.

Ici les itérées de h(x) peuvent s'écrire facilement :


C'est de là que m'est venu l'idée de construire certaines équations
fonctionnelles.


Celle proposée est construite à partir de


...

A+

Alain

Bonjour,


Dis-moi si cela tu parais plus clair,


Amicalement,

Alain

Je comprend à peu près...
d'après la formule, on a
et alors effectivement, est solution...
je vais essayer de voir l'unicité de cette solution...

ah une remarque, ce n'est pas défini en 0..., elle ne répond donc pas au critères que j'ai énoncé dans mon premier post...

Bonne fin de semaine,

La solution proposée est ici  
k peut être une constante  et plus généralement une
fonction invariante pour


A plus,


Alain

Si je ne me trompe pas, les fonctions invariantes par x^2+2x sont les fonctions constantes sur ]-\infty,-1[ et [-1,+\infty[.
Nous cherchons les fonctions continues et sur R+, il ne reste donc plus que les fonctions constantes...
Mais je pense qu'il est possible de trouver une solution qui soit définie en 0, telle que je l'ai décrite dans mon premier post....

Bonjour,


Je te souhaite de bonnes fêtes de fin d'année.

A partir de la fonction
nous pouvons construire d'autres fonctions qui seront invariantes
pour

Juste un exemple:


Alain

On retombe sur la même histoire qu'avant: cette fonction n'est pas définie en 0, alors effectivement, elle peut se permettre de prendre une autre forme.
Mais les seules définies en 0 sont constantes:
On cherche les solutions de l'équation fonctionnelle f(x) = f(x²+2x), x0
par changement de variable X = x²+2x
f(X) = f((1+X)-1)
soit (Un) telle que Un+1 = (U_n+1)-1
Pour tout n entier, pour tout U0 positif, f(U0) = f(U1) = f(U2) = ... = f(Un) = ... = lim(f(Un)) = f(0) (théorème de la limite monotone)
donc f est constante sur R+

Mais étant donnée que votre solution était déjà sur R₊^*, si on cherche les solutions possibles sur R+^*, ça marche effectivement...

Joyeuses fêtes de fin d'années

Bonsoir,

Ton approche par série  me suggère d'autres recherches.

Je m'étais intéressé à la résolution d'équations fonctionnelles;
les fonctions d'Abel liées à h:
se révèlent adaptées pour le calcul d'itérées et la résolution
d'équations fonctionnelles.

Je me suis demandé si je pouvais utiliser la dérivée de
pour construire autre chose.


Extraits d'un tableau:
Avec   
         ,
...



Alain