Niveau exercices

Une équation fonctionnelle à deux inconnues !

Posté par
elhor_abdelali 05-06-09 à 21:57

Bonjour ;

Déterminer tous les couples de fonctions $3$\blue\fbox{f , g\;:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ vérifiant $4$\red\fbox{\forall x,y\;\;f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$ _{bonne recherche}

Posté par re : Une équation fonctionnelle à deux inconnues ! 07-06-09 à 14:00

Bonjour elhor

Je ne l'ai pas, mais ça l'empêchera de couler...

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Posté par re : Une équation fonctionnelle à deux inconnues ! 07-06-09 à 17:52

Bonjour Camélia !

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Posté par re : Une équation fonctionnelle à deux inconnues ! 09-06-09 à 16:49

salut
pour soit $g(a)=0$ alors avec l'egalité de CAMELIA $g(a)=f(a)=0$ , $(1+a)f(x)=bx+g(x)$ en suite $fog(y)=-yf(0)+g(0)$ $gog(x)=(1+a)(-xf(0)+g(0))$ $g(x)=(1+a)(-g^{-1}(x)f(0)+g(0))$ . il faut en deduire que $g$ est affine et la trouver.

Posté par re : Une équation fonctionnelle à deux inconnues ! 12-06-09 à 12:16

salut.
je vois que le topik n'interrsse plus grand monde mais dis moi elhor si c'est juste ma reponse car j'aimerais bien m'en servire pour un devoir.je donne le reste de ma reponse.
soit $gog(x)=-(1+a)f(0)x+(1+a)g(0)$ on en deduit que $g$ est affine et de la forme $k(x-a)$ et puisque $(1+a)f(x)=g(x)$ on a $f(x)=\frac{k}{1+a}(x-a)$ en suite $fog(0)=g(0)$ en posant $x=y=0$
on en deduit avec les calculs que $k=a$ ; $a$ $-1$