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Une factorisation pour vous...

Posté par
alainpaul 14-05-16 à 19:46

Bonne soirée,

Je vous propose la factorisation du polynôme suivant:

$P_8(x)=0x^8+x^7+x^6+2x^5+2x^4+2x^3+x^2+x+0$

J'expliquerai la raison de cette écriture,

Alain

Posté par re : Une factorisation pour vous... 14-05-16 à 21:09

tel que je te connais, c'est l'écriture x (1+x (1+x (2+x (2+x (2+x (1+x)))))) qui te plait le plus, non ?
sinon x (x²+1) (x⁴+x³+x²+x+1)

Posté par re : Une factorisation pour vous... 15-05-16 à 11:23

Bon dimanche,

J'essaie ici de factoriser le polynôme et d'en trouver les racines  en m'appuyant sur des
polynômes palindromiques et leurs propriétés.

Ainsi $P_7(x)=x^7+x^6+2x^5+2x^4+2x^3+x^2+x$    n'est pas palindromique,
liste des coefficients {1,1,2,2,2,1,1,0} ,celui que j' écrit P₈ ,l'est.

$x^2,x^3+x,x^4+x^3+x^2+x+1$    Peuvent tous être écrits comme polynômes de taille 4 palindromiques:

$\bar {Q_4(x)}=0x^4+0x^3+x^2+0x+0 ,\bar { R_4(x)}=0x^4+x^3+0x^2+x+0 ,\bar {T_4(x)}=x^4+x^3+x^2+x+1$

Convention :barre supérieure pour palindromique.
Nous avons les propriétés  suivantes :le produit de 2 polynômes palindromiques de
même taille (n) donne un polynôme palindromique de taille double (2n) ,pour la somme

$\bar {Q_n(x)}+\bar { R_n(x)}=\bar {T_n(x)}$

Je construis une solution sur ces bases et  donne ensuite les racines  de P₈.

Alain

Posté par re : Une factorisation pour vous... 15-05-16 à 14:04

salut

si $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n$ alors P s'écrit en base x : 1111... 111

que vaut le produit 1111 ...111 * 1111...111 les deux facteurs n'ayant pas forcément le même nombre de 1 d'ailleurs ...

Posté par re : Une factorisation pour vous... 16-05-16 à 09:41

Bonjour,

J'espère que tu passes un bon une bonne Pentecôte.

Je souhaite préciser plusieurs choses:
1) le produit de polynômes pal donnent un polynôme pal ,démonstration à partir de $\bar {P_n(x)}=x^n P_n(\frac{1}{x})$
Tes polynômes $\frac{x^q-1}{x-1}$   en sont un exemple.

2)nous pouvons générer un polynôme pal de la manière suivante :

$\bar {Q_{2n}(x)}=P_n(x)\times  |P_n(x)$    ,| pour 'miroir'  ,  miroir de (x-1) , (1-x) .

Ex:soit $P_2(x)=x^2+3x+2$   le produit par 2x+1 donne: $\bar {P_3(x)}=(x+1)\times [(x+2)(2x+1)]$

3)Dans ma résolution,j'ai considéré des polynômes pal de même taille :
la palindromie  est alorsi conservée pour les sommes,Ex: $(x^4+1) +(x^3+x) +cx^2$ .

Alain