Intéressant

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a) Le plus petit élément de E est (14,20).
b) L'ensemble des couples (14, 20+k*210) fait partie de E. Cet ensemble est infini et donc E aussi.
c) x et x+1 doivent être des nombres composés ab et cd tels que ad et bc soient premiers entre eux.
Une autre façon de le dire: x et x+1 ne doivent pas être des puissances de nombres premiers.
d) Soit x = ab et x+1=cd avec ad > bc, les solutions positives (m,n) de l'équation diophantine m(ad) - n(bc) = 1 donnent les y par y = n(bc). Il existe une infinité de solutions et donc une infinité de y.

Bonjour,
Merci pour cet exo...

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On remplit facilement 4 conditions ,mais la cinquième est
assez loin...

Le premier couple qui remplit 4 conditions est (6;20)

Suite

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Dans mon test j'avais une erreur et je confirme
premier couple (14;20) le deuxième est (14;35) puis(20;35)

Une programme qui les génère tous les couples primordiaux dans l'ordre:


Pour comprendre ce qu'est un couple primordial, il faut répondre à la question d

Comme j'étais au frais (dehors 40° à l'ombre )

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Liste des couples (x;y) limités à x<100 et y<1000
On voit une certaine diminution ,mais les disparités sont telles que
je n'ai pas trop vu le lien.

En Vérifiant

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(14;216) est à exclure du tableau.
on voit pour x=14 un écart pour les y de  15 une fois sur2
pour x=20  un écart de 160 une fois sur 2
pour x=21   un écart de 21  une fois sur  2
Ensuite rien de significatif

@dpi
Regardes les écarts de x(x+1) 😉

Je fais la liste pour x<100
je ne vois rien

Dans ta liste pour x=14, si on oublie le 216 qui est erroné, on a :

(20, 35 , 174, 189) -> (230, 245, 344, 399) -> (440, 455, 554, 609)

Or x(x+1) = 210

On a aussi 20+189 = 209 = x(x+1)-1 et 35+174 = 209 = x(x+1)-1.

Il y a quelques corrections à faire dans ta liste mais c'est vrai pour tous les x.

La taille du groupe (4 pour x=14) est égal à (d(14)-2)*(d(15)-2) avec d(x) le nombre de diviseurs.

(14;216) avait déjà été éliminé.
Voici les couples x<100 et y<1001

Bonjour , c'est plus un probleme qu'on a envi de traiter via un programme informatique le premier couple qu'on obtient est bien (14,20)

Bonjour dpi,

je n'ai pas tout vérifié mais il manque au moins un couple (x,y) dans ton tableau, le couple (75,399).

Bonsoir jandri

J'avais les bons résultats,mais pour la mise en page ,j'ai fait
une recopie et effectivement il manque (75;399 )
A rajouter également (65;935)
Si cela intéresse je peux donner beaucoup plus de couples

J'ai mis  (55;1000 ) pour le plaisir..

En cherchant plus loin...
Dans x< 100 on rajoute 86 93 94 95 99 soit 36 couples.
On constate que le champion x=14 crée 1246 couples
Ensuite nous avons une descente asymptotique...

Ça fait longtemps que j'ai proposé deux programmes, l'un brute qui teste toutes les possibilités, l'autre plus intelligent qui utilise les réponses au questions posées.

Il n'est pas question de champion puisque tous les x on une infinité de y solutions (si y est solution alors y + x(x+1) est solution).

Ta liste des x < 100 me semble correcte maintenant (le "nb y" n' a pas de sens).
Si tu factorises les x qui ont des solutions et ceux qui n'en ont pas que remarques tu (observe les paires x et x+1)?

Le nombre de diviseurs "propres" de x est donné par 2^f(x) où f(x) est le nombre de facteurs premiers distinct de x.

On a donc que le nombre de y < x(x+1) est donné par (2^f(x)-2)(2^f(x+1)-2).

Par exemple si x=14, x=2*7 et x+1=15=3*5 donc le nombre de y est (2^2-2)(2^2-2) = 4.

x= 14, 65, 209 et 230 sont des records dans le sens où il n'y a pas de plus petit x dont le nombre y < x(x+1) soit supérieur.

Etonnament, il n'y a pas de x dont le nombre de solutions y < x(x+1) est 252 pour x inférieur à 100000. Le plus petit x qui a 252 solutions est 510509.

>Littlefox,
Tu as raison mon but était de voir sans une fourchette plus grande
l'évolution des y qui comme tu le dis sont infinis .
Disons que certains sont moins infinis que d'autres