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une grande famille de couples

Posté par
perroquet
22-08-23 à 08:59

Bonjour à tous.

On considère les couples (x,y) d'entiers naturels non nuls qui vérifient les 3 conditions suivantes:
1) x(x+1) divise y(y+1)
2) x ne divise pas y et ne divise pas y+1
3) x+1 ne divise pas y et ne divise pas y+1

Je vous propose plusieurs questions sur l'ensemble E de ces couples:
a) Quel est le plus petit élément de E ?
b) Montrer que E est infini .
c) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur un entier naturel  x pour qu'il existe y tel que (x,y) appartienne à E.
d) On note F l'ensemble des entiers naturels définis à la question c. x étant un élément de F, montrer qu'il existe une infinité d'entiers y tels que (x,y) appartient à E.

Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 10:57


Intéressant


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Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 12:05

Bonjour,
Merci pour cet exo...

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Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 12:27

Suite

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Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 13:10

Une programme qui les génère tous les couples primordiaux dans l'ordre:


Pour comprendre ce qu'est un couple primordial, il faut répondre à la question d

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 14:59

Comme j'étais au frais (dehors 40° à l'ombre )

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Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 22-08-23 à 15:13

En Vérifiant

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Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 23-08-23 à 10:32

@dpi
Regardes les écarts de x(x+1) 😉

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 23-08-23 à 11:22

Je fais la liste pour x<100
je ne vois rien

une grande famille de couples

Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 23-08-23 à 17:53

Dans ta liste pour x=14, si on oublie le 216 qui est erroné, on a :

(20, 35 , 174, 189) -> (230, 245, 344, 399) -> (440, 455, 554, 609)

Or x(x+1) = 210

On a aussi 20+189 = 209 = x(x+1)-1 et 35+174 = 209 = x(x+1)-1.

Il y a quelques corrections à faire dans ta liste mais c'est vrai pour tous les x.

La taille du groupe (4 pour x=14) est égal à (d(14)-2)*(d(15)-2) avec d(x) le nombre de diviseurs.

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 24-08-23 à 08:17

(14;216) avait déjà été éliminé.
Voici les couples x<100 et y<1001

une grande famille de couples

Posté par
flight
re : une grande famille de couples 24-08-23 à 15:11

Bonjour , c'est plus un probleme qu'on a envi de traiter via un programme informatique le premier couple qu'on obtient est bien (14,20)

Posté par
jandri Correcteur
re : une grande famille de couples 24-08-23 à 18:28

Bonjour dpi,

je n'ai pas tout vérifié mais il manque au moins un couple (x,y) dans ton tableau, le couple (75,399).

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 24-08-23 à 19:35

Bonsoir jandri

J'avais les bons résultats,mais pour la mise en page ,j'ai fait
une recopie et effectivement il manque (75;399 )
A rajouter également (65;935)
Si cela intéresse je peux donner beaucoup plus de couples

J'ai mis  (55;1000 ) pour le plaisir..

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 25-08-23 à 08:23

En cherchant plus loin...
Dans x< 100 on rajoute 86 93 94 95 99 soit 36 couples.
On constate que le champion x=14 crée 1246 couples
Ensuite nous avons une descente asymptotique...

une grande famille de couples

Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 25-08-23 à 09:17



Ça fait longtemps que j'ai proposé deux programmes, l'un brute qui teste toutes les possibilités, l'autre plus intelligent qui utilise les réponses au questions posées.

Il n'est pas question de champion puisque tous les x on une infinité de y solutions (si y est solution alors y + x(x+1) est solution).

Ta liste des x < 100 me semble correcte maintenant (le "nb y" n' a pas de sens).
Si tu factorises les x qui ont des solutions et ceux qui n'en ont pas que remarques tu (observe les paires x et x+1)?

Posté par
LittleFox
re : une grande famille de couples 25-08-23 à 10:49


Le nombre de diviseurs "propres" de x est donné par 2^f(x) où f(x) est le nombre de facteurs premiers distinct de x.

On a donc que le nombre de y < x(x+1) est donné par (2^f(x)-2)(2^f(x+1)-2).

Par exemple si x=14, x=2*7 et x+1=15=3*5 donc le nombre de y est (2^2-2)(2^2-2) = 4.

x= 14, 65, 209 et 230 sont des records dans le sens où il n'y a pas de plus petit x dont le nombre y < x(x+1) soit supérieur.

Etonnament, il n'y a pas de x dont le nombre de solutions y < x(x+1) est 252 pour x inférieur à 100000. Le plus petit x qui a 252 solutions est 510509.

Posté par
dpi
re : une grande famille de couples 25-08-23 à 12:19

>Littlefox,
Tu as raison mon but était de voir sans une fourchette plus grande
l'évolution des y qui comme tu le dis sont infinis .
Disons que certains sont moins infinis que d'autres



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